解が与えられた２次方程式
したがって、２つの解の和と積を求めると２次方程式が決まります。
問題解説：解が与えられた２次方程式
問題解説(1)
\({\small (1)}~\) ２数 \(1+2i~,~1-2i\) を解とする２次方程式を１つ答えよ。
２数の和 \(p\) と積 \(q\) をそれぞれ求めると、$$~~~p=(1+2i)+(1-2i)$$$$\hspace{ 15 pt}=1+2i+1-2i$$$$\hspace{ 15 pt}=2$$$$~~~q=(1+2i)(1-2i)$$$$\hspace{ 15 pt}=1^2-(2i)^2$$$$\hspace{ 15 pt}=1-4i^2$$$$\hspace{ 15 pt}=1-4\cdot(-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=1+4$$$$\hspace{ 15 pt}=5$$したがって、\(p=2~,~q=5\) となるので求める２次方程式は、$$~~~x^2-2x+5=0$$となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\) ２次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の２つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の２数を解とする２次方程式を１つ答えよ。$$~~{\large ①}~\alpha-1~,~\beta-1$$$$~~{\large ②}~\alpha^2~,~\beta^2$$
２次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の２つの解が \(\alpha~,~\beta\) であるので、解と係数の関係より、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} ~\alpha+\beta=-\frac{3}{1}=-3 \\ ~\alpha\beta=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray}$$
① \(\alpha-1~,~\beta-1\) を解とする２次方程式は、この２つの解の和を \(p\)、積を \(q\) とすると、$$~~~p=(\alpha-1)+(\beta-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha-1+\beta-1$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha+\beta-2$$ここで、\(\alpha+\beta=-3\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=-3-2$$$$\hspace{ 15 pt}=-5$$
$$~~~q=(\alpha-1)(\beta-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha\beta-\alpha-\beta+1$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1$$ここで、\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=1-(-3)+1$$$$\hspace{ 15 pt}=1+3+1$$$$\hspace{ 15 pt}=5$$したがって、\(p=-5~,~q=5\) であるので求める２次方程式は、$$~~~x^2-(-5)x+5=0$$$$\hspace{ 24 pt}x^2+5x+5=0$$となります。
② \(\alpha^2~,~\beta^2\) を解とする２次方程式は、この２つの解の和を \(s\)、積を \(t\) とすると、$$~~~s=\alpha^2+\beta^2$$２次式の対称式より、$$\hspace{ 15 pt}=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$ここで、\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=(-3)^2-2\cdot1$$$$\hspace{ 15 pt}=9-2$$$$\hspace{ 15 pt}=7$$
$$~~~t=\alpha^2\beta^2$$$$\hspace{ 15 pt}=(\alpha\beta)^2$$ここで、\(\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=1^2$$$$\hspace{ 15 pt}=1$$したがって、\(s=7~,~t=1\) であるので求める２次方程式は、$$~~~x^2-7x+1=0$$となります。
今回のまとめ
解が与えられた２次方程式の係数を求めるときは、その２つの解の和と積を求めて解と係数の関係を利用して係数を決定しましょう。
