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2次方程式の虚数解

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今回の問題は「2次方程式の虚数解」です。

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2=-3$$$${\small (2)}~(x-3)^2=-4$$$${\small (3)}~x^2+3x+9=0$$

 

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2次方程式の虚数解の求め方

Point:2次方程式の虚数解2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) において、判別式 \(D=b^2-4ac\) が \(D<0\) となるときも解が求まり、その解を虚数解といいます。
 
また、その解は解の公式より、

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

このとき、平方根の中が負の数となります。

 

問題解説:2次方程式の虚数解

問題解説(1)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2=-3$$

$$~~~x^2=-3$$両辺の平方根をとると、$$\hspace{ 12 pt}x=\pm\sqrt{-3}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 12 pt}x=\pm\sqrt{3}i$$よって、答えは \(x=\pm\sqrt{3}i\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (2)}~(x-3)^2=-4$$

$$~~~(x-3)^2=-4$$両辺の平方根をとると、$$\hspace{ 20 pt}x-3=\pm\sqrt{-4}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 20 pt}x-3=\pm\sqrt{4}i$$$$\hspace{ 20 pt}x-3=\pm2i$$\(-3\) を右辺に移項すると、$$\hspace{ 38 pt}x=3\pm2i$$よって、答えは \(3\pm2i\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の方程式の解を求めよ$${\small (3)}~x^2+3x+9=0$$

$$~~~x^2+3x+9=0$$左辺は因数分解できないので、解の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot9}}{2\cdot1}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{-3\pm\sqrt{9-36}}{2}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{-3\pm\sqrt{-27}}{2}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 18 pt}=\frac{-3\pm\sqrt{27}i}{2}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{-3\pm3\sqrt{3}i}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{-3\pm3\sqrt{3}i}{2}}\) となります。

 

今回のまとめ

複素数範囲に広がったときでも、2次方程式の解の求め方は同じになります。また、負の数の平方根は (i) を用いて表しましょう。