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負の数の平方根

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今回の問題は「負の数の平方根」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~-5\) の平方根を答えよ。
\({\small (2)}~\)次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt{-9}+\sqrt{-25}$$$$~{\large ②}~\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}$$$$~{\large ③}~\frac{\sqrt{-21}}{\sqrt{7}}$$$$~{\large ④}~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}$$

 

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負の数の平方根の解法

Point:負の数の平方根・負の数の平方根
\(a>0\) のとき、

$$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$$

とくに、

$$\sqrt{-1}=i$$

また、\(a>0\) のとき \(-a\) の平方根は、

$$\pm\sqrt{-a}=\pm\sqrt{a}i$$

となります。
 
・負の数の平方根の計算
負の数の平方根があるときは、$$~~~\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$このような先にルートの中の計算をする公式は使えません。
よって、計算の順序は
負の数の平方根を \(i\) を用いて表す
② すべての平方根の中が正の数になったら、平方根の計算をする
例えば、$$~~~~~~\sqrt{-2}\times\sqrt{-10}$$$$~=\sqrt{2}i\times\sqrt{10}i$$$$~=\sqrt{2\times10}\times i^2$$$$~=\sqrt{20}i^2$$$$~=2\sqrt{5}\cdot(-1)$$$$~=-2\sqrt{5}$$よって、\(-2\sqrt{5}\) となります。

 

問題解説:負の数の平方根

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~-5\) の平方根を答えよ。

$$~~~\pm\sqrt{-5}=\pm\sqrt{5}i$$よって、答えは \(\pm\sqrt{5}i\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt{-9}+\sqrt{-25}$$$$~{\large ②}~\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}$$$$~{\large ③}~\frac{\sqrt{-21}}{\sqrt{7}}$$$$~{\large ④}~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}$$

負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$~~~~~~\sqrt{-9}+\sqrt{-25}$$$$~=\sqrt{9}i+\sqrt{25}i$$$$~=3i+5i$$$$~=8i$$よって、答えは\(8i\) となります。
 
負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$~~~~~~\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}$$$$~=\sqrt{2}i\times\sqrt{6}i$$$$~=\sqrt{2\times6}\times i^2$$$$~=\sqrt{12}i^2$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=2\sqrt{3}\cdot(-1)$$$$~=-2\sqrt{3}$$よって、答えは \(-2\sqrt{3}\) となります。
 
負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$~~~~~~\frac{\sqrt{-21}}{\sqrt{7}}$$$$~=\frac{\sqrt{21}i}{\sqrt{7}}$$$$~=\sqrt{\frac{21}{7}}i$$$$~=\sqrt{3}i$$よって、答えは \(\sqrt{3}i\) となります。
 
負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$~~~~~~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}i}$$分母分子に \(\sqrt{2}i\) をかけると、$$~=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}i}\times\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{2}i}$$$$~=\frac{\sqrt{6}i}{2i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{\sqrt{6}i}{2\times(-1)}$$$$~=-\frac{\sqrt{6}}{2}i$$よって、答えは \(-{\Large \frac{\sqrt{6}}{2}}i\) となります。

 

今回のまとめ

負の数の平方根の計算はその順序が重要となります。先に負の数の平方根を \(i\) を用いて表すのを忘れないようにしましょう。

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