オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはTwitterにて!

分数と複素数

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「分数と複素数」です。

問題次の式を \(a+bi\) の形にせよ。$${\small (1)}~\frac{1}{2+i}$$$${\small (2)}~\frac{i}{1-i}$$$${\small (3)}~\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

分数と複素数の解法

Point:分数と複素数分数式 \({\Large \frac{1}{a+bi}}\) を式変形するには、分母分子に\(a+bi\) の共役な複素数である \(a-bi\) をかけましょう。$$~~~~~~\frac{1}{a+bi}$$$$~=\frac{1}{a+bi}\times\frac{a-bi}{a-bi}$$$$~=\frac{a-bi}{a^2-(bi)^2}$$$$~=\frac{a-bi}{a^2-b^2i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$$$~=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$$

 

問題解説:分数と複素数

問題解説(1)

問題次の式を \(a+bi\) の形にせよ。$${\small (1)}~\frac{1}{2+i}$$

$$~~~~~~\frac{1}{2+i}$$\(2+i\) の共役な複素数は、\(2-i\) となり分母分子にかけると、$$~=\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}$$$$~=\frac{2-i}{2^2-i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{2-i}{4-(-1)}$$$$~=\frac{2-i}{5}$$$$~=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$$よって、答えは \({\Large \frac{2}{5}}-{\Large \frac{1}{5}}i\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を \(a+bi\) の形にせよ。$${\small (2)}~\frac{i}{1-i}$$

$$~~~~~~\frac{i}{1-i}$$\(1-i\) の共役な複素数は、\(1+i\) となり分母分子にかけると、$$~=\frac{i}{1-i}\times\frac{1+i}{1+i}$$$$~=\frac{i+i^2}{1^2-i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{i-1}{1-(-1)}$$$$~=\frac{-1+i}{2}$$$$~=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$よって、答えは \(-{\Large \frac{1}{2}}+{\Large \frac{1}{2}}i\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を \(a+bi\) の形にせよ。$${\small (3)}~\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$$

$$~~~~~~\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$$\(\sqrt{2}-i\) の共役な複素数は、\(\sqrt{2}+i\) となり分母分子にかけると、$$~=\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}\times\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}+i}$$$$~=\frac{(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}i+i^2}{(\sqrt{2})^2-i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{2+2\sqrt{2}i-1}{2-(-1)}$$$$~=\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}$$$$~=\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}i$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{3}}+{\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}}i\) となります。

 

今回のまとめ

分母に複素数を含む式の計算は、分母分子に共役な複素数をかけましょう。また、\(i^2=-1\) と置き換えることを忘れないようにしましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:複素数と方程式
このページは「高校数学Ⅱ:式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないと...