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共役な複素数と式の値

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今回の問題は「共役な複素数と式の値」です。

問題複素数 \(\alpha=3+i\) について、この複素数の共役な複素数を \(\overline {\alpha} \) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\alpha+\overline {\alpha}$$$${\small (2)}~\alpha-\overline {\alpha}$$$${\small (3)}~\alpha\cdot \overline {\alpha}$$$${\small (4)}~\alpha^2+\overline {\alpha}^2$$

 

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共役な複素数と式の値の解法

Point:共役な複素数と式の値複素数 \(\alpha=a+bi\) について、\(\overline {\alpha}\) を共役な複素数といい、次のように表します。

$$\overline {\alpha}=a-bi$$

このとき、\(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いた対称式が問題として出題されます。基本対称式は次のようになります。

$$\alpha+\overline {\alpha}~,~\alpha\overline {\alpha}$$

 

問題解説:共役な複素数と式の値

問題解説(1)

問題複素数 \(\alpha=3+i\) について、この複素数の共役な複素数を \(\overline {\alpha} \) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\alpha+\overline {\alpha}$$

\(\alpha=3+i\) について、共役な複素数 \(\overline {\alpha} \) は次のようになります。$$~~~\overline {\alpha}=3-i$$よって、$$~~~~~~\alpha+\overline {\alpha}$$$$~=(3+i)+(3-i)$$$$~=3+i+3-i$$$$~=6$$よって、答えは \(6\) となります。

 

問題解説(2)

問題複素数 \(\alpha=3+i\) について、この複素数の共役な複素数を \(\overline {\alpha} \) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (2)}~\alpha-\overline {\alpha}$$

\(\alpha=3+i~,~\overline {\alpha}=3-i\) より、$$~~~~~~\alpha-\overline {\alpha}$$$$~=(3+i)-(3-i)$$$$~=3+i-3+i$$$$~=2i$$よって、答えは \(2i\) となります。

 

問題解説(3)

問題複素数 \(\alpha=3+i\) について、この複素数の共役な複素数を \(\overline {\alpha} \) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (3)}~\alpha\cdot \overline {\alpha}$$

\(\alpha=3+i~,~\overline {\alpha}=3-i\) より、$$~~~~~~\alpha\cdot \overline {\alpha}$$$$~=(3+i)(3-i)$$ここで、\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、$$~=3^2-i^2$$\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=9-(-1)$$$$~=9+1$$$$~=10$$よって、答えは \(10\) となります。

 

問題解説(4)

問題複素数 \(\alpha=3+i\) について、この複素数の共役な複素数を \(\overline {\alpha} \) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (4)}~\alpha^2+\overline {\alpha}^2$$

$$~~~~~~\alpha^2+\overline {\alpha}^2$$対称式 \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) より、$$~=(\alpha+\overline {\alpha})^2-2\alpha\cdot \overline {\alpha}$$(1)と(3)の答えより、
\(~~~\alpha+\overline {\alpha}=6~,~\alpha\cdot \overline {\alpha}=10\)
これらを代入すると、$$~=6^2-2\cdot10$$$$~=36-20$$$$~=16$$よって、答えは \(16\) となります。

 

今回のまとめ

共役な複素数を求めるのは簡単ですが、対称式を用いた計算も覚えておきましょう。また、\(i^2=-1\) と置き換えることを忘れないようにしましょう。

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