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複素数の計算

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今回の問題は「複素数の計算」です。

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~(7+i)+(2-5i)$$$${\small (2)}~(2+i)^2$$$${\small (3)}~(3-i)(1-i)$$$${\small (4)}~i^{10}$$$${\small (5)}~i^{100}$$

 

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複素数の計算のやり方

Point:複素数の計算・複素数の計算
計算する上でのポイントは2つのあります。
虚数単位 \(i\) を文字として扱い、文字式の計算をしましょう。
\(i^2=-1\) と置き換えます。また、次数の高い \(i\) の式も次数を下げる計算をしましょう。
例えば、$$~~~i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i$$$$~~~i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$$$$~~~i^5=(i^2)^2\cdot i=(-1)^2\cdot i=1\cdot i=i$$

 

問題解説:複素数の計算

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~(7+i)+(2-5i)$$

$$~~~~~~(7+i)+(2-5i)$$$$~=7+i+2-5i$$$$~=7+2+i-5i$$$$~=9-4i$$よって、答えは \(9-4i\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。$${\small (2)}~(2+i)^2$$

$$~~~~~~(2+i)^2$$$$~=4+2\cdot 2\cdot i+i^2$$$$~=4+4i+i^2$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=4+4i-1$$$$~=3+4i$$よって、答えは \(3+4i\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の計算をせよ。$${\small (3)}~(3-i)(1-i)$$

$$~~~~~~(3-i)(1-i)$$$$~=3-3i-i+i^2$$$$~=3-4i+i^2$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=3-4i-1$$$$~=2-4i$$よって、答えは \(2-4i\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の計算をせよ。$${\small (4)}~i^{10}$$

$$~~~~~~i^{10}$$$$~=(i^2)^5$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=(-1)^5$$$$~=-1$$よって、答えは \(-1\) となります。

 

問題解説(5)

問題次の計算をせよ。$${\small (5)}~i^{100}$$

$$~~~~~~i^{100}$$$$~=(i^2)^{50}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=(-1)^{50}$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

今回のまとめ

複素数の計算は文字式のように計算できますが、\(i^2\) がある場合は \(-1\) と置き換える点に注意して計算しましょう。

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