分数と複素数の解法
問題解説：分数と複素数
問題解説(1)
$$~~~~~~\frac{1}{2+i}$$\(2+i\) の共役な複素数は、\(2-i\) となり分母分子にかけると、$$~=\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}$$$$~=\frac{2-i}{2^2-i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{2-i}{4-(-1)}$$$$~=\frac{2-i}{5}$$$$~=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$$よって、答えは \({\Large \frac{2}{5}}-{\Large \frac{1}{5}}i\) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\frac{i}{1-i}$$\(1-i\) の共役な複素数は、\(1+i\) となり分母分子にかけると、$$~=\frac{i}{1-i}\times\frac{1+i}{1+i}$$$$~=\frac{i+i^2}{1^2-i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{i-1}{1-(-1)}$$$$~=\frac{-1+i}{2}$$$$~=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$よって、答えは \(-{\Large \frac{1}{2}}+{\Large \frac{1}{2}}i\) となります。
問題解説(3)
$$~~~~~~\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$$\(\sqrt{2}-i\) の共役な複素数は、\(\sqrt{2}+i\) となり分母分子にかけると、$$~=\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}\times\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}+i}$$$$~=\frac{(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}i+i^2}{(\sqrt{2})^2-i^2}$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=\frac{2+2\sqrt{2}i-1}{2-(-1)}$$$$~=\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}$$$$~=\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}i$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{3}}+{\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}}i\) となります。
今回のまとめ
分母に複素数を含む式の計算は、分母分子に共役な複素数をかけましょう。また、\(i^2=-1\) と置き換えることを忘れないようにしましょう。
