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直角三角形と三角比

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今回の問題は「直角三角形と三角比」です。

問題\(\angle {\rm B}\) が直角の直角三角形 \({\rm ABC}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=3\) のとき、次の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{{\rm A}}$$$${\small (2)}~\cos{{\rm A}}$$$${\small (3)}~\tan{{\rm A}}$$$${\small (4)}~\tan{{\rm C}}$$

 

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直角三角形と三角比

Point:直角三角形と三角比次の \(\triangle {\rm ABC}\) において、

正弦を \(\sin{}\) で表し、

$$\sin{{\rm A}}=\frac{{\rm BC}}{{\rm AC}}$$

余弦を \(\cos{}\) で表し、

$$\cos{{\rm A}}=\frac{{\rm AB}}{{\rm AC}}$$

正接を \(\tan{}\) で表し、

$$\tan{{\rm A}}=\frac{{\rm BC}}{{\rm AB}}$$

三角比の値を直角三角形より求めるときは、その角を左下の位置にした三角形を描くようにしましょう。

 

問題解説:直角三角形と三角比

問題解説(1)

問題\(\angle {\rm B}\) が直角の直角三角形 \({\rm ABC}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=3\) のとき、次の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{{\rm A}}$$

与えられた図形を表すと次のようになります。

\(\triangle {\rm ABC}\) において、三平方の定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AC}^2=4^2+3^2$$$$\hspace{ 32 pt}=16+9$$$$\hspace{ 32 pt}=25$$よって、\({\rm AC}>0\) より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AC}=5$$
よって、三角比の定義より、$$\hspace{ 10 pt}\sin{{\rm A}}=\frac{{\rm BC}}{{\rm AC}}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{{\rm A}}=\frac{3}{5}$$よって、答えは$$~~~\sin{{\rm A}}=\frac{3}{5}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\(\angle {\rm B}\) が直角の直角三角形 \({\rm ABC}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=3\) のとき、次の値を求めよ。$${\small (2)}~\cos{{\rm A}}$$

三角比の定義より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{{\rm A}}=\frac{{\rm AB}}{{\rm AC}}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{{\rm A}}=\frac{4}{5}$$よって、答えは$$~~~\cos{{\rm A}}=\frac{4}{5}$$となります。

 

問題解説(3)

問題\(\angle {\rm B}\) が直角の直角三角形 \({\rm ABC}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=3\) のとき、次の値を求めよ。$${\small (3)}~\tan{{\rm A}}$$

三角比の定義より、$$\hspace{ 10 pt}\tan{{\rm A}}=\frac{{\rm AC}}{{\rm AB}}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\tan{{\rm A}}=\frac{3}{4}$$よって、答えは$$~~~\tan{{\rm A}}=\frac{3}{4}$$となります。

 

問題解説(4)

問題\(\angle {\rm B}\) が直角の直角三角形 \({\rm ABC}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=3\) のとき、次の値を求めよ。$${\small (4)}~\tan{{\rm C}}$$

\(\angle{\rm C}\) が左下にくるように図を描きなおすと、

よって、三角比の定義より、$$\hspace{ 10 pt}\tan{{\rm C}}=\frac{{\rm AB}}{{\rm CB}}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\tan{{\rm A}}=\frac{4}{3}$$よって、答えは$$~~~\tan{{\rm A}}=\frac{4}{3}$$となります。

 

今回のまとめ

三角比の定義は値の求め方と、角を左下にして直角三角形を描くことを覚えておきましょう。

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