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余弦定理と2次方程式

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今回の問題は「余弦定理と2次方程式」です。

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について、次の条件のとき \(c\) の値を求めよ。$$~~~\angle{\rm B}=30^\circ~,~a=3\sqrt{3}~,~b=\sqrt{7}$$

 

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余弦定理と2次方程式の解法

Point:余弦定理と2次方程式3つの辺と1つの角について、
対辺対角となっている組の辺以外の辺が未知数のとき、

上の図で、\(c=x\) が未知数のとき、
\(\cos{{\rm A}}\) の余弦定理より、

$$a^2=b^2+x^2-2bx\cos{{\rm A}}$$

この式は \(x\) の2次方程式となるので、これを解いて \(x\) の値を求めます。

 

問題解説:余弦定理と2次方程式

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について、次の条件のとき \(c\) の値を求めよ。$$~~~\angle{\rm B}=30^\circ~,~a=3\sqrt{3}~,~b=\sqrt{7}$$

与えられた図形は次のようになります。

\(\cos{{\rm B}}\) について、余弦定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}(\sqrt{7})^2=(3\sqrt{3})^2+c^2-2\cdot3\sqrt{3}\cdot c\cdot\cos{30^\circ}$$$$\hspace{ 30 pt}7=27+c^2-6\sqrt{3}\cdot c \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\hspace{ 30 pt}7=27+c^2-3\cdot3\cdot c$$$$\hspace{ 30 pt}7=27+c^2-9c$$両辺を入れ替えて、\(7\) を移項すると、$$\hspace{ 28 pt}27+c^2-9c=7$$$$\hspace{ 10 pt}27+c^2-9c-7=0$$$$\hspace{ 28 pt}c^2-9c+20=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(c-4)(c-5)=0$$これより、解は$$\hspace{ 10 pt}c=4~,~5$$\(c>0\) より、どちらも成り立ちます。
 
よって、答えは$$~~~c=4~,~5$$となります。

 

今回のまとめ

余弦定理を用いた式が2次方程式になるパターンも、余弦定理の式の立て方は同じように考えましょう。また、辺の条件である「辺の値は常に正」には注意しましょう。

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