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三角形の辺と角の条件

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今回の問題は「三角形の辺と角の条件」です。

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。$${\small (1)}~a=7~,~b=4~,~c=6$$$${\small (2)}~a=\sqrt{7}~,~b=6~,~c=4$$$${\small (3)}~a=13~,~b=5~,~c=12$$

 

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三角形の辺と角の条件

Point:三角形の辺と角の条件\(\triangle {\rm ABC}\) の3つの辺 \(a~,~b~,~c\) について、\(a\) が最大の辺であるとき、
( ⅰ ) \(a^2<b^2+c^2\) のとき
 \(\angle {\rm A}\) が鋭角となるので、
 \(\triangle {\rm ABC}\) は鋭角三角形となります。
 
( ⅱ ) \(a^2=b^2+c^2\) のとき
 \(\angle {\rm A}\) が直角となるので、
 \(\triangle {\rm ABC}\) は直角三角形となります。
 
( ⅲ ) \(a^2>b^2+c^2\) のとき
 \(\angle {\rm A}\) が鈍角となるので、
 \(\triangle {\rm ABC}\) は鈍角三角形となります。
 
この条件を使う前に \(a~,~b~,~c\) のどの辺が最大の辺となるかを調べておきましょう。

 

問題解説:三角形の辺と角の条件

問題解説(1)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。$${\small (1)}~a=7~,~b=4~,~c=6$$

\(a\) が最大の辺であることより、$$\hspace{ 10 pt}a^2=7^2=49$$また、他の2辺について、$$\hspace{ 10 pt}b^2+c^2=4^2+6^2$$$$\hspace{ 43 pt}=16+36$$$$\hspace{ 43 pt}=52$$したがって、$$~~~a^2<b^2+c^2$$となることより、この三角形は鋭角三角形となります。

 

問題解説(2)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。$${\small (2)}~a=\sqrt{7}~,~b=6~,~c=4$$

\(b\) が最大の辺であることより、$$\hspace{ 10 pt}b^2=6^2=36$$また、他の2辺について、$$\hspace{ 10 pt}a^2+c^2=(\sqrt{7})^2+4^2$$$$\hspace{ 43 pt}=7+16$$$$\hspace{ 43 pt}=23$$したがって、$$~~~b^2>a^2+c^2$$となることより、この三角形は \(\angle{\rm B}\) が鈍角の鋭角三角形となります。

 

問題解説(3)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。 $${\small (3)}~a=13~,~b=5~,~c=12$$

\(a\) が最大の辺であることより、$$\hspace{ 10 pt}a^2=13^2=169$$また、他の2辺について、$$\hspace{ 10 pt}b^2+c^2=5^2+12^2$$$$\hspace{ 43 pt}=25+144$$$$\hspace{ 43 pt}=169$$したがって、$$~~~a^2=b^2+c^2$$となることより、この三角形は \(\angle{\rm A}\) が直角の直角三角形となります。

 

今回のまとめ

どのような三角形を決めるときは、まずは3つの辺のどこが最大の辺を調べましょう。また、それぞれの条件はしっかりと覚えておきましょう。

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