余弦定理と２次方程式

2018.08.242020.06.09

余弦定理と２次方程式の解法
問題解説：余弦定理と２次方程式
今回のまとめ

余弦定理と２次方程式の解法

Point：余弦定理と２次方程式３つの辺と１つの角について、
対辺対角となっている組の辺以外の辺が未知数のとき、

上の図で、$c=x$ が未知数のとき、
$\cos{{\rm A}}$ の余弦定理より、

$$a^2=b^2+x^2-2bx\cos{{\rm A}}$$

この式は $x$ の２次方程式となるので、これを解いて $x$ の値を求めます。

問題解説：余弦定理と２次方程式

問題$\triangle {\rm ABC}$ について、次の条件のとき $c$ の値を求めよ。$$~~~\angle{\rm B}=30^\circ~,~a=3\sqrt{3}~,~b=\sqrt{7}$$

与えられた図形は次のようになります。

$\cos{{\rm B}}$ について、余弦定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}(\sqrt{7})^2=(3\sqrt{3})^2+c^2-2\cdot3\sqrt{3}\cdot c\cdot\cos{30^\circ}$$$$\hspace{ 30 pt}7=27+c^2-6\sqrt{3}\cdot c \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\hspace{ 30 pt}7=27+c^2-3\cdot3\cdot c$$$$\hspace{ 30 pt}7=27+c^2-9c$$両辺を入れ替えて、$7$ を移項すると、$$\hspace{ 28 pt}27+c^2-9c=7$$$$\hspace{ 10 pt}27+c^2-9c-7=0$$$$\hspace{ 28 pt}c^2-9c+20=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(c-4)(c-5)=0$$これより、解は$$\hspace{ 10 pt}c=4~,~5$$$c>0$ より、どちらも成り立ちます。

よって、答えは$$~~~c=4~,~5$$となります。