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三角比の等式証明

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今回の問題は「三角比の等式証明」です。

問題次の等式を証明せよ。$$~~~\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}$$

 

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三角比の等式の証明

Point:三角比の等式の証明\(1+\sin{\theta}\) が分母(または分子)にある場合
分母分子に符号を変えた \(1-\sin{\theta}\) をかけると、例えば、$$~~~~~~\frac{1}{1+\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1}{1+\sin{\theta}}\times\frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin^2{\theta}}$$ここで、\(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\) より、\(1-\sin^2{\theta}=\cos^2{\theta}\) を用いると、$$~=\frac{1-\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$この式変形を使います。
 
また、
 \(1-\sin{\theta}\) のときは、\(1+\sin{\theta}\)
 \(1+\cos{\theta}\) のときは、\(1-\cos{\theta}\)
 \(1+\cos{\theta}\) のときは、\(1+\cos{\theta}\)
これらのときも、同様の式変形をします。
 
\(\tan{\theta}\) がある場合$$~~~\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$これを用いて、\(\sin{\theta}\) \(,\) \(\cos{\theta}\) の式にします。

 

問題解説:三角比の等式証明

問題次の等式を証明せよ。$$~~~\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}$$

[証明]
 (左辺)$$~=\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}$$左側の項の分母分子に \(1-\sin{\theta}\) をかけると、$$~=\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}\times\frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}}+\tan{\theta}$$$$~=\frac{\cos{\theta}(1-\sin{\theta})}{1-\sin^2{\theta}}+\tan{\theta}$$\(1-\sin^2{\theta}=\cos^2{\theta}\) より、$$~=\frac{\cos{\theta}(1-\sin{\theta})}{\cos^2{\theta}}+\tan{\theta}$$ここで、\(\cos{\theta}\) が約分されて、\(\tan{\theta}={\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) を用いると、$$~=\frac{1-\sin{\theta}}{\cos{\theta}}+\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$$~=\frac{1-\sin{\theta}+\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$$~=\frac{1}{\cos{\theta}}$$
よって、左辺=右辺となるので、$$~~~\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}$$が成り立ちます。[終]

 

今回のまとめ

三角比の等式証明は、\(1+\sin{\theta}\) 系の計算方法と \(\tan{\theta}\) の計算方法の2つを覚えておきましょう。また、左辺や右辺のどちらかを式変形して残りの一方にしましょう。

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