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三角比の拡張

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今回の問題は「三角比の拡張」です。

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~120^\circ$$$${\small (2)}~135^\circ$$$${\small (3)}~150^\circ$$$${\small (4)}~0^\circ$$$${\small (5)}~180^\circ$$$${\small (6)}~90^\circ$$

 

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三角比の拡張(0°から180°)

Point:三角比の拡張\(\theta\) が \(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲のときの値も単位円を用いて求めることができます。
半径 \(1\) の円を単位円といい、\(x\) 軸との正の部分とのなす角を \(\theta\) としたとき、

点 \({\rm P}\) の座標が次のようになります。

$${\rm P}(\cos{\theta}~,~\sin{\theta})$$

また、直線 \({\rm OP}\) の傾き \(m\) とすると、

$$m=\tan{\theta}$$

となります。
 
\(30^\circ \times n\) の角の場合

\(45^\circ \times n\) の角の場合

 

問題解説:三角比の拡張

問題解説(1)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~120^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになりなり、\(1:\sqrt{3}:2\) の直角三角形となります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{120^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{120^\circ}=-\frac{1}{2}$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{120^\circ}=-\sqrt{3}$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{120^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}~,~\cos{120^\circ}=-\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{120^\circ}=-\sqrt{3}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (2)}~135^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形となります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{135^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{135^\circ}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{135^\circ}=-1$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{135^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}~,~\cos{135^\circ}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{135^\circ}=-1$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (3)}~150^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、\(\sqrt{3}:1:2\) の直角三角形となります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{150^\circ}=\frac{1}{2}$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{150^\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{150^\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{150^\circ}=\frac{1}{2}~,~\cos{150^\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{150^\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (4)}~0^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、点 \((1~,~0)\) を通ります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{0^\circ}=0$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{0^\circ}=1$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{0^\circ}=0$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{0^\circ}=0~,~\cos{0^\circ}=1$$$$~~~\tan{0^\circ}=0$$となります。

 

問題解説(5)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (5)}~180^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになりなり、点 \((-1~,~0)\) を通ります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{180^\circ}=0$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{180^\circ}=-1$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{180^\circ}=0$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{180^\circ}=0~,~\cos{180^\circ}=-1$$$$~~~\tan{180^\circ}=0$$となります。

 

問題解説(6)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (6)}~90^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、点 \((0~,~-1)\) を通ります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{90^\circ}=1$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{90^\circ}=0$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、「解なし」となります。
よって、答えは$$~~~\sin{90^\circ}=1~,~\cos{90^\circ}=0$$\(~~~\tan{0^\circ}\) は解なし
となります。

 

今回のまとめ

拡張された三角比においても、単位円で値を求めることができます。\(30^\circ\) の倍数と \(45^\circ\) の倍数の図をそのまま暗記しておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ:図形と計量
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