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三角比と方程式

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今回の問題は「三角比と方程式」です。

問題次の方程式を満たす \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (1)}~\sin{\theta}=\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$$${\small (3)}~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$$${\small (4)}~\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

 

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三角比と方程式を満たす角

Point:三角比と方程式三角比の値が与えられていて、角度を求めるとき単位円を用いて解きます。
( ⅰ ) \(\cos{\theta}=a\) のとき
\(\cos{\theta}\) は \(x\) 座標の値となるので、単位円上に \(x=a\) の直線を引きます。

この直線と単位円との交点より、角 \(\theta\) を求めます。
 
( ⅱ ) \(\sin{\theta}=b\) のとき
\(\sin{\theta}\) は \(y\) 座標の値となるので、単位円上に \(y=b\) の直線を引きます。

この直線と単位円との交点より、角 \(\theta\) を求めます。
 
( ⅲ ) \(\tan{\theta}=m\) のとき
\(\tan{\theta}\) は直線 \(y=mx\) となるので、単位円上に \(y=mx\) の直線を引きます。

この直線と単位円との交点より、角 \(\theta\) を求めます。
 
このとき、以下の表を使いましょう。
\(30^\circ \times n\) の角の場合

\(45^\circ \times n\) の角の場合

 

問題解説:三角比と方程式

問題解説(1)

問題次の方程式を満たす \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (1)}~\sin{\theta}=\frac{1}{2}$$

単位円上に表すと、\(y\) 座標が \({\Large \frac{1}{2}}\) となればよいので、

単位円との交点より、角を読み取ると、$$~~~\theta=30^\circ~,~150^\circ$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式を満たす \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (2)}~\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$

単位円上に表すと、\(x\) 座標が \(-{\Large \frac{1}{2}}\) となればよいので、

単位円との交点より、角を読み取ると、$$~~~\theta=120^\circ$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の方程式を満たす \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (3)}~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$

単位円上に表すと、傾きが \(\sqrt{3}\) となればよいので、\(y=\sqrt{3}x\) の直線より、

単位円との交点より、角を読み取ると、$$~~~\theta=60^\circ$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の方程式を満たす \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (4)}~\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

単位円上に表すと、\(y\) 座標が \({\Large \frac{1}{\sqrt{2}}}\) となればよいので、

単位円との交点より、角を読み取ると、$$~~~\theta=45^\circ~,~135^\circ$$となります。

 

今回のまとめ

三角比の値から角度を求める方法を解説しました。重要な計算方法となりますので単位円を描いて解けるようになりましょう。

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