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三角比と不等式

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今回の問題は「三角比と不等式」です。

問題次の不等式を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (1)}~\sin{\theta}≦\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~\cos{\theta}<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$${\small (3)}~\tan{\theta}≦\frac{1}{\sqrt{3}}$$

 

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三角比と不等式を満たす角

Point:三角比と不等式不等式を単位円上に表して求めます。
( ⅰ ) \(\cos{\theta}≦a\) のとき
\(x\) 座標の値が \(a\) 以下となるので、単位円上で直線 \(x=a\) より左側の範囲となります。

よって、図より解は$$~~~\alpha≦\theta≦180^\circ$$となります。
 
( ⅱ ) \(\sin{\theta}>b\) のとき
\(y\) 座標の値が \(b\) より大きいとなるので、単位円上で直線 \(y=b\) より上側の範囲となります。

よって、図より解は$$~~~\alpha<\theta<\beta$$となります。
 
( ⅲ ) \(\tan{\theta}≧m\) のとき
傾きが \(m\) 以上となるので、単位円上で直線 \(y=mx\) を引いて考えると、

よって、図より解は$$~~~\alpha≦\theta<90^\circ$$となります。
このとき、\(\tan{90^\circ}\) は解なしとなるので含みません。
 
このとき、以下の表を使いましょう。
\(30^\circ \times n\) の角の場合

\(45^\circ \times n\) の角の場合

 

問題解説:三角比と不等式

問題解説(1)

問題次の不等式を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (1)}~\sin{\theta}≦\frac{1}{2}$$

単位円上に表すと、\(y\) 座標が \({\Large \frac{1}{2}}\) 以下となればよいので、

よって、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で考えると答えは、$$~~~0^\circ≦\theta≦30^\circ~,~150^\circ≦\theta≦180^\circ$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の不等式を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (2)}~\cos{\theta}<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

単位円上に表すと、\(x\) 座標が \(-{\Large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) より小さくなればよいので、

よって、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で考えると答えは、$$~~~150^\circ<\theta≦180^\circ$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の不等式を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (3)}~\tan{\theta}≦\frac{1}{\sqrt{3}}$$

単位円上に表すと、傾きが \({\Large \frac{1}{\sqrt{3}}}\) 以下となればよいので、

よって、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で考えると、$$~~~0^\circ≦\theta≦30^\circ$$となります。
また、第2象限 \(90^\circ<\theta≦180\) の範囲は傾きが \(m<0\) となるので成り立ちます。
したがって、答えは、$$~~~0^\circ≦\theta≦30^\circ~,~0^\circ<\theta≦180^\circ$$となります。

 

今回のまとめ

不等式の場合でも単位円を用いて解けるように練習しておきましょう。また、\(\tan{\theta}\) の値は少し複雑で、象限での傾きの正負に注意しましょう。

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