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三角比と2次方程式

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今回の問題は「三角比と2次方程式」です。

問題次の方程式の解を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$$~~~2\cos^2{\theta}-\cos{\theta}-1=0$$

 

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三角比と2次方程式

Point:三角比と2次方程式三角比1種類だけを用いた2次方程式は、その三角比を \(t\) と置き換えた \(t\) の2次方程式として解きましょう。
また、置き換えたときの \(t\) の値の範囲には注意しましょう。
 
\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) のとき
( ⅰ ) \(\sin{\theta}=t\) とすると、

よって、$$~~~0≦\sin{\theta}≦1$$となるので、

$$0≦t≦1$$

となります。
 
( ⅱ ) \(\cos{\theta}=t\) とすると、

よって、$$~~~-1≦\cos{\theta}≦1$$となるので、

$$-1≦t≦1$$

となります。

 

問題解説:三角比と2次方程式

問題次の方程式の解を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$$~~~2\cos^2{\theta}-\cos{\theta}-1=0$$

\(\cos{\theta}=t\) とすると、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) であることより、

単位円より、$$~~~-1≦\cos{\theta}≦1$$となるので、$$~~~-1≦t≦1$$となります。
 
与式を \(\cos{\theta}=t\) で置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}2t^2-t-1=0$$左辺を因数分解すると、たすき掛けの表より、
$$\hspace{ 10 pt}(2t+1)(t-1)=0$$よって、$$~~~t=-\frac{1}{2}~,~1$$となり、これは \(-1≦t≦1\) を満たします。
 
( ⅰ ) \(t=-{\Large \frac{1}{2}}\) のとき、
元に戻すと、$$~~~\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$単位円上に表すと、

よって、\(\theta=120^\circ\) となります。
 
( ⅱ ) \(t=1\) のとき、
元に戻すと、$$~~~\cos{\theta}=1$$単位円上に表すと、

よって、\(\theta=0^\circ\) となります。
 
したがって、答えは$$~~~\theta=0^\circ~,~120^\circ$$となります。

 

今回のまとめ

三角比の2次方程式は、三角比を置き換えて文字についての2次方程式として解きましょう。また、置き換えたときの値の範囲には注意しましょう。

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