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角の二等分線の長さ

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今回の問題は「角の二等分線の長さ」です。

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以外の条件のとき、次の問いに答えよ。また、\(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) 、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とする。$$~~~~~~\angle{\rm A}=60^\circ~,~b=3~,~c=4$$$${\small (1)}~S$$$${\small (2)}~{\rm AD}$$

 

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角の二等分線の長さの求め方

Point:角の二等分線の長さ\(\triangle {\rm ABC}\) について、\(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) としたとき、

\({\rm AD}=x~,~\angle{\rm A}=\theta\) としたとき、
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、$$~~~S=\frac{1}{2}bc\sin{\theta}~~\cdots{\large ①}$$
また、\(\triangle {\rm ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(\angle{\rm BAD}={\large \frac{\theta}{2}}\) より、$$~~~S_1=\frac{1}{2}cx\sin{\frac{\theta}{2}}~~\cdots{\large ②}$$
また、\(\triangle {\rm ADC}\) の面積 \(S_2\) は、\(\angle{\rm DAC}={\large \frac{\theta}{2}}\) より、$$~~~S_2=\frac{1}{2}xb\sin{\frac{\theta}{2}}~~\cdots{\large ③}$$
よって、①〜③より、

$$S=S_1+S_2$$

この式を用いて \(x\) の値を求めます。

 

問題解説:角の二等分線の長さ

問題解説(1)

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以外の条件のとき、次の問いに答えよ。また、\(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) 、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とする。$$~~~~~~\angle{\rm A}=60^\circ~,~b=3~,~c=4$$$${\small (1)}~S$$

与えられた図形は次のようになります。

この三角形の面積を \(S\) とすると、\(\angle{\rm A}\) を用いた面積の公式より、$$\hspace{ 10 pt}S=\frac{1}{2}bc\sin{{\rm A}}$$これに値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}S=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3\cdot\sin{60^\circ}$$$$\hspace{ 20 pt}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\hspace{ 20 pt}=3\sqrt{3}$$
よって、答えは$$~~~S=3\sqrt{3}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以外の条件のとき、次の問いに答えよ。また、\(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) 、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とする。$$~~~~~~\angle{\rm A}=60^\circ~,~b=3~,~c=4$$$${\small (2)}~{\rm AD}$$

\({\rm AD}=x\) とすると、図形は次のようになります。

ここで、\(\angle{\rm BAD}\) と \(\angle{\rm DAC}\) はそれぞれ \(\angle{\rm A}\) を二等分しているので、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}=30^\circ$$となります。
 
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) の面積を \(S_1\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}S_1=\frac{1}{2}cx\sin{{\rm BAD}}$$これに値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}S_1=\frac{1}{2}\cdot4\cdot x \cdot\sin{30^\circ}$$$$\hspace{ 23 pt}=2x\cdot\frac{1}{2}$$$$\hspace{ 23 pt}=x$$
また、\(\triangle {\rm ADC}\) の面積を \(S_2\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}S_2=\frac{1}{2}xb\sin{{\rm DAC}}$$これに値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}S_2=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 3 \cdot\sin{30^\circ}$$$$\hspace{ 23 pt}=\frac{3}{2}x\cdot\frac{1}{2}$$$$\hspace{ 23 pt}=\frac{3}{4}x$$
よって、$$~~~S=S_1+S_2$$となることより、上の値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3\sqrt{3}=x+\frac{3}{4}x$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}x+\frac{3}{4}x=3\sqrt{3}$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{4+3}{4}x=3\sqrt{3}$$$$\hspace{ 27 pt}\frac{7}{4}x=3\sqrt{3}$$両辺に \({\large \frac{4}{3}}\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{7}{4}x\times\frac{4}{7}=3\sqrt{3}\times\frac{4}{7}$$$$\hspace{ 40 pt}x=\frac{12}{7}\sqrt{3}$$
よって、答えは$$~~~{\rm AD}=\frac{12}{7}\sqrt{3}$$となります。

 

今回のまとめ

三角形の角の二等分線の長さを求めるときは、三角形を二等分線で2つの三角形に分けて面積の条件を用いて求めましょう。

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