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内接円の半径

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今回の問題は「内接円の半径」です。

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以下の条件のとき、次の値を求めよ。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とする。$$~~~~~~a=7~,~b=8~,~c=5$$$${\small (1)}~\cos{{\rm B}}$$$${\small (2)}~\sin{{\rm B}}$$$${\small (3)}~S$$$${\small (4)}~r$$

 

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三角形の内接円の半径の求め方

Point:三角形の内接円の半径\(\triangle {\rm ABC}\) について、面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とすると、

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$

 
この公式を使うまでの手順は、
3つの辺 \(a~,~b~,~c\) が与えられた \(\triangle {\rm ABC}\) において、
余弦定理より、\(\cos{{\rm A}}\) の値を求めます。
(\(\cos{{\rm B}}\) または \(\cos{{\rm C}}\) でもよい)
相互関係の公式より、\(\sin{{\rm A}}\) の値を求めます。
面積 \(S\) の値を「2辺と間の角」より求めます。
④ 上の公式より、内接円の半径 \(r\) を求めます。

 

問題解説:内接円の半径

問題解説(1)

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以下の条件のとき、次の値を求めよ。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とする。$$~~~~~~a=7~,~b=8~,~c=5$$$${\small (1)}~\cos{{\rm B}}$$

与えられた図形は次のようになります。

\(\cos{{\rm B}}\) について、余弦定理を用いると、$$\hspace{ 11 pt}8^2=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cdot\cos{{\rm B}}$$$$\hspace{ 10 pt}64=49+25-70\cos{{\rm B}}$$$$\hspace{ 10 pt}64=74-70\cos{{\rm B}}$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}70\cos{{\rm B}}=74-64$$$$\hspace{ 10 pt}70\cos{{\rm B}}=10$$両辺を \(70\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{{\rm B}}=\frac{10}{70}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{1}{7}$$
よって、答えは$$~~~\cos{{\rm B}}=\frac{1}{7}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以下の条件のとき、次の値を求めよ。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とする。$$~~~~~~a=7~,~b=8~,~c=5$$$${\small (2)}~\sin{{\rm B}}$$

相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{{\rm B}}+\cos^2{{\rm B}}=1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{{\rm B}}=1-\cos^2{{\rm B}}$$ (1)より、値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{{\rm B}}=1-\left(\frac{1}{7}\right)^2$$$$\hspace{ 37 pt}=1-\frac{1}{49}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{49-1}{49}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{48}{49}$$ここで、\(0^\circ<{\rm B}<180^\circ\) より、\(\sin{{\rm B}}>0\) となります。$$\hspace{ 10 pt}\sin{{\rm B}}=\sqrt{\frac{48}{49}}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{49}}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$$
よって、答えは$$~~~\sin{{\rm B}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$$となります。

 

問題解説(3)

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以下の条件のとき、次の値を求めよ。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とする。$$~~~~~~a=7~,~b=8~,~c=5$$$${\small (3)}~S$$

2辺 \(a~,~c\) と間の角 \(\angle{\rm B}\) についての三角形の面積の公式より、$$~~~S=\frac{1}{2}ac\sin{{\rm B}}$$この式に値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}S=\frac{1}{2}\cdot7\cdot5\cdot\frac{4\sqrt{3}}{7}$$$$\hspace{ 20 pt}=10\sqrt{3}$$
よって、答えは$$~~~S=10\sqrt{3}$$となります。

 

問題解説(4)

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以下の条件のとき、次の値を求めよ。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とする。$$~~~~~~a=7~,~b=8~,~c=5$$$${\small (4)}~r$$

三角形の面積 \(S\) と内接円の半径 \(r\) の公式より、$$~~~S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$この式に値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}10\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot r \cdot (7+8+5)$$$$\hspace{ 10 pt}10\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot r\cdot 20$$$$\hspace{ 10 pt}10\sqrt{3}=10r$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}10r=10\sqrt{3}$$両辺を \(10\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}r=\sqrt{3}$$
よって、答えは$$~~~r=\sqrt{3}$$となります。

 

今回のまとめ

内接円の半径を求める公式は、その公式を使うまでの手順が重要となります。三角形の面積から求める流れを覚えておきましょう。

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