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球面の方程式

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今回の問題は「球面の方程式」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 点 \((2~,~3~,~1)\) を中心とする半径 \(3\) の球面の方程式を求めよ。
\({\small (2)}\) 2点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) を直径の両端とする球面の方程式を求めよ。

 

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球面の方程式の解法

Point:球面の方程式中心の座標が \({\rm C}(a~,~b~,~c)\) で半径が \(r\) の球面の方程式は、

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$

また、中心が原点のときは、

$$x^2+y^2+z^2=r^2$$

となります。

 

問題解説:球面の方程式

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 点 \((2~,~3~,~1)\) を中心とする半径 \(3\) の球面の方程式を求めよ。

中心が \((2~,~3~,~1)\) で半径 \(3\) であるので、球面の方程式は、$$~~~(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=3^2$$よって、答えは$$~~~(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=9$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 2点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) を直径の両端とする球面の方程式を求めよ。

2点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) が直径より、この2点の中点が中心となるので、$$~~~~~~\left( \frac{1+(-1)}{2}~,~\frac{-2+2}{2}~,~\frac{0+(-2)}{2} \right)$$$$~=\left( 0~,~0~,~\frac{-2}{2} \right)$$$$~=(0~,~0~,~-1)$$よって、\((0~,~0~,~-1)\) が中心となります。

また、2点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) の座標の2点間の距離の公式より、$$~~~~~~\sqrt{(-1-1)^2+\{2-(-2)\}^2+(-2-0)^2}$$$$~=\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2}$$$$~=\sqrt{4+16+4}$$$$~=\sqrt{24}$$$$~=2\sqrt{6}$$よって、直径が \(2\sqrt{6}\) より、半径が \(\sqrt{6}\) となります。

したがって、求める球面の方程式は、$$\hspace{ 10 pt}(x-0)^2+(y-0)^2+\{z-(-1)\}^2=(\sqrt{6})^2$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+y^2+(z+1)^2=6$$よって、答えは$$~~~x^2+y^2+(z+1)^2=6$$となります。

 

今回のまとめ

球面の方程式を求めるときは、球の中心の座標と半径を求めて公式に当てはめて求めましょう。

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