球面の方程式の解法
また、中心が原点のときは、
となります。
問題解説：球面の方程式
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 点 \((2~,~3~,~1)\) を中心とする半径 \(3\) の球面の方程式を求めよ。
中心が \((2~,~3~,~1)\) で半径 \(3\) であるので、球面の方程式は、$$~~~(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=3^2$$よって、答えは$$~~~(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=9$$となります。
問題解説(2)
２点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) が直径より、この２点の中点が中心となるので、$$~~~~~~\left( \frac{1+(-1)}{2}~,~\frac{-2+2}{2}~,~\frac{0+(-2)}{2} \right)$$$$~=\left( 0~,~0~,~\frac{-2}{2} \right)$$$$~=(0~,~0~,~-1)$$よって、\((0~,~0~,~-1)\) が中心となります。
また、２点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) の座標の２点間の距離の公式より、$$~~~~~~\sqrt{(-1-1)^2+\{2-(-2)\}^2+(-2-0)^2}$$$$~=\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2}$$$$~=\sqrt{4+16+4}$$$$~=\sqrt{24}$$$$~=2\sqrt{6}$$よって、直径が \(2\sqrt{6}\) より、半径が \(\sqrt{6}\) となります。
したがって、求める球面の方程式は、$$\hspace{ 10 pt}(x-0)^2+(y-0)^2+\{z-(-1)\}^2=(\sqrt{6})^2$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+y^2+(z+1)^2=6$$よって、答えは$$~~~x^2+y^2+(z+1)^2=6$$となります。
今回のまとめ
球面の方程式を求めるときは、球の中心の座標と半径を求めて公式に当てはめて求めましょう。
