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三角形の辺と角の大小関係

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今回の問題は「三角形の辺と角の大小関係」です。

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(a=8\) \(,\) \(b=6\) \(,\) \(c=3\) のとき、3つの角の大小を調べよ。
\({\small (2)}\) \(\angle{\rm A}=110^\circ\) \(,\) \(b=4\) \(,\) \(c=10\) のとき、3つの角の大小を調べよ。
\({\small (3)}\) \(\angle{\rm A}=80^\circ\) \(,\) \(\angle{\rm B}=30^\circ\) のとき、3つの辺の大小を調べよ。

 

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三角形の辺と角の大小関係

Point:三角形の辺と角の大小関係【定理】
① 大きい辺に向かい合う角は、小さい辺に向かい合う角より大きい。
② 大きい角に向かい合う辺は、小さい角に向かい合う辺より大きい。
 
これらをまとめると、三角形の辺とそれに対する角の大小関係は一致します。
例えば、

$${\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm B}>{\small\angle}{\rm C}~\Leftrightarrow~a>b>c$$

 

問題解説:三角形の辺と角の大小関係

問題解説(1)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(a=8\) \(,\) \(b=6\) \(,\) \(c=3\) のとき、3つの角の大小を調べよ。

3つの辺の大小関係が \(a>b>c\) であるので、三角形の辺と角の大小関係は一致することより、答えは$$~~~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm B}>{\small\angle}{\rm C}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) \(\angle{\rm A}=110^\circ\) \(,\) \(b=4\) \(,\) \(c=10\) のとき、3つの角の大小を調べよ。

\(\angle{\rm A}=110^\circ\) で鈍角となるので、最大角となります。
また、\(b<c\) であるので、三角形の辺と角の大小関係が一致することより、$$~~~{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$よって、答えは$$~~~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (3)}\) \(\angle{\rm A}=80^\circ\) \(,\) \(\angle{\rm B}=30^\circ\) のとき、3つの辺の大小を調べよ。

\(\angle{\rm A}=80^\circ\) \(,\) \(\angle{\rm B}=30^\circ\) より、三角形の内角の和の条件を用いると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm C}=180^\circ-(80^\circ+30^\circ)$$$$\hspace{ 27 pt}=180^\circ-110^\circ$$$$\hspace{ 27 pt}=70^\circ$$よって、角の大小関係は、$$~~~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$三角形の辺と角の大小関係は一致することより、答えは$$~~~a>c>b$$となります。

 

今回のまとめ

三角形の辺と角の大小関係は、鈍角の条件や三角形の内角の和の条件を用いて考えましょう。

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