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メネラウスの定理

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今回の問題は「メネラウスの定理」です。

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}=5\) \(,\) \({\rm BP}=2\) \(,\) \({\rm AR}=4\) のとき、次の比を求めよ。
$${\small (1)}~ {\rm BQ}:{\rm QC}$$$${\small (2)}~ {\rm PQ}:{\rm QR}$$

 

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メネラウスの定理の解法

Point:メネラウスの定理解法の手順は、
着目する三角形を決めます。
次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) に着目する。

ここで着目する三角形が変わると、違う式が得られます。
頂点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) と交点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) を確認して、頂点→交点→頂点→…と進んでいくルートを決めます。$$~~~{\rm A}~\to~{\rm P}~\to~{\rm B}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm C}~\to~{\rm R}~\to~{\rm A}$$③ メネラウスの定理より式を立てます。

$$\frac{{\rm AP}}{{\rm PB}}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}\times \frac{{\rm CR}}{{\rm RA}}=1$$

 
① 着目する三角形を \(\triangle {\rm PBQ}\) とする。
頂点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm Q}\) と交点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm R}\) \(,\) \({\rm C}\) を確認して、頂点→交点→頂点→…と進んでいくルートを決めます。$$~~~{\rm P}~\to~{\rm A}~\to~{\rm B}~\to~{\rm C}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm R}~\to~{\rm P}$$③ メネラウスの定理より式を立てます。

$$\frac{{\rm PA}}{{\rm AB}}\times \frac{{\rm BC}}{{\rm CQ}}\times \frac{{\rm QR}}{{\rm RP}}=1$$

 

問題解説:メネラウスの定理

問題解説(1)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}=5\) \(,\) \({\rm BP}=2\) \(,\) \({\rm AR}=4\) のとき、次の比を求めよ。
$${\small (1)}~ {\rm BQ}:{\rm QC}$$

図は次のようになります。

\(\triangle {\rm ABC}\) に着目して、交点が \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) であるので、$$~~~{\rm A}~\to~{\rm P}~\to~{\rm B}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm C}~\to~{\rm R}~\to~{\rm A}$$と進むメネラウスの定理より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{{\rm AP}}{{\rm PB}}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}\times \frac{{\rm CR}}{{\rm RA}}=1$$これに値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{5+2}{2}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}\times \frac{1}{4}=1$$$$\hspace{ 48 pt}\frac{7}{8}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}=1$$両辺に \({\large \frac{8}{7}}\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}=\frac{8}{7}$$よって、これより答えは$$~~~{\rm BQ}:{\rm QC}=8:7$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~ {\rm PQ}:{\rm QR}$$

図は次のようになります。

\({\rm PQ}:{\rm QR}\) を含む \(\triangle {\rm APR}\) に着目して、交点が \({\rm B}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm C}\) であるので、$$~~~{\rm A}~\to~{\rm B}~\to~{\rm P}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm R}~\to~{\rm C}~\to~{\rm A}$$と進むメネラウスの定理より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{{\rm AB}}{{\rm BP}}\times \frac{{\rm PQ}}{{\rm QR}}\times \frac{{\rm RC}}{{\rm CA}}=1$$これに値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{5}{2}\times \frac{{\rm PQ}}{{\rm QR}}\times \frac{1}{1+4}=1$$$$\hspace{ 49 pt}\frac{1}{2}\times \frac{{\rm PQ}}{{\rm QR}}=1$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{{\rm PQ}}{{\rm QR}}=\frac{2}{1}$$よって、これより答えは$$~~~{\rm PQ}:{\rm QR}=2:1$$となります。

 

今回のまとめ

メネラウスの定理を用いるときは、着目する三角形を決めることが最も重要なこととなります。求めたい比や辺の値を含む三角形に着目しましょう。

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