Twitterフォローよろしくお願いします!

チェバの定理

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「チェバの定理」です。

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}=5\) \(,\) \({\rm AP}=2\) \(,\) \({\rm AR}=4\) のとき、\({\rm BQ}:{\rm QC}\) の比を求めよ。

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

チェバの定理の解法

Point:チェバの定理解法の手順は、
着目する三角形を決めます。
次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) に着目する。

頂点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) と交点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) を確認して、頂点→交点→頂点→…と進んでいくルートを決めます。$$~~~{\rm A}~\to~{\rm P}~\to~{\rm B}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm C}~\to~{\rm R}~\to~{\rm A}$$③ チェバの定理より式を立てます。

$$\frac{{\rm AP}}{{\rm PB}}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}\times \frac{{\rm CR}}{{\rm RA}}=1$$

 

問題解説:チェバの定理

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}=5\) \(,\) \({\rm AP}=2\) \(,\) \({\rm AR}=4\) のとき、\({\rm BQ}:{\rm QC}\) の比を求めよ。

図は次のようになります。

\(\triangle {\rm ABC}\) に着目して、交点が \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) であるので、$$~~~{\rm A}~\to~{\rm P}~\to~{\rm B}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm C}~\to~{\rm R}~\to~{\rm A}$$と進むチェバの定理より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{{\rm AP}}{{\rm PB}}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}\times \frac{{\rm CR}}{{\rm RA}}=1$$これに値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{2}{3}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}\times \frac{1}{4}=1$$$$\hspace{ 32 pt}\frac{1}{6}\times \frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}=1$$両辺に \(6\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{{\rm BQ}}{{\rm QC}}=\frac{6}{1}$$よって、答えは$$~~~{\rm BQ}:{\rm QC}=6:1$$となります。

 

今回のまとめ

チェバの定理を用いるときは、着目する三角形を決めて頂点と分点を交互に進むルートを確認して式を立てましょう。

【問題一覧】数学A:図形の性質
このページは「高校数学A:図形の性質」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...