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三角形の重心

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今回の問題は「三角形の重心」です。

問題次の図で、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、直線 \({\rm AG}\) と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、次の比の値を求めよ。$$~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$

 

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三角形の重心の性質

Point:三角形の重心【定理】3つの頂点とその対辺の中点を結ぶ線を中線といい、この3つの中線は1点で交わりその各中線を \(2:1\) に内分する。

このときの交点 \({\rm G}\) を三角形の重心といいます。
\({\rm L}\) \(,\) \({\rm M}\) \(,\) \({\rm N}\) を各辺の中点とすると、

$$~{\rm AN}:{\rm NB}={\rm BL}:{\rm LC}={\rm AM}:{\rm MC}$$$$=1:1$$

また、定理より、

$$~{\rm AG}:{\rm GL}={\rm BG}:{\rm GM}={\rm CG}:{\rm GN}$$$$=2:1$$

 

問題解説:三角形の重心

問題次の図で、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、直線 \({\rm AG}\) と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、次の比の値を求めよ。$$~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$

図は次のようになります。

点 \({\rm G}\) が重心であることより、$$~~~{\rm BD}:{\rm DC}=1:1$$$$~~~{\rm AG}:{\rm GD}=1:2$$となります。
ここで、\(\triangle {\rm GBD}\) の面積を \(S\) とすると、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:1\) で高さが等しく底辺の比が面積の比となるので、$$~~~\triangle {\rm GBD}:\triangle {\rm GDC}=1:1$$よって、$$~~~\triangle {\rm GDC}=S$$となります。
 
次に、\({\rm AG}:{\rm GD}=2:1\) で高さが等しく底辺の比が面積の比となるので、
$$~~~\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}=2:1$$よって、\(\triangle {\rm GBD}=S\) より、$$~~~\triangle {\rm ABG}=2S$$となります。
 
次に、\(\triangle {\rm ABD}\) について、$$~~~\triangle {\rm ABD}=\triangle {\rm ABG}+\triangle {\rm GBD}$$これより、$$~~~\triangle {\rm ABD}=2S+S=3S$$となります。
 
次に、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:1\) で高さが等しく底辺の比が面積の比となるので、
$$~~~\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ADC}=1:1$$よって、\(\triangle {\rm ABD}=3S\) より、$$~~~\triangle {\rm ADC}=3S$$となります。
また、$$\hspace{ 10 pt}\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm ABD}+\triangle {\rm ADC}$$$$\hspace{ 44 pt}=3S+3S$$$$\hspace{ 44 pt}=6S$$
 
したがって、答えは$$~~~~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$$$~=6S:3S:2S:S$$$$~=6:3:2:1$$となります。

 

今回のまとめ

重心についての問題は、中線の性質とその中線を \(2:1\) に内分することが基本となります。また、底辺の比と面積比の関係を用いて解いていきましょう。

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