三角形の重心

2018.10.182020.06.09

三角形の重心の性質
問題解説：三角形の重心
今回のまとめ

三角形の重心の性質

Point：三角形の重心【定理】３つの頂点とその対辺の中点を結ぶ線を中線といい、この３つの中線は１点で交わりその各中線を $2:1$ に内分する。

このときの交点 ${\rm G}$ を三角形の重心といいます。
${\rm L}$ $,$ ${\rm M}$ $,$ ${\rm N}$ を各辺の中点とすると、

$$~{\rm AN}:{\rm NB}={\rm BL}:{\rm LC}={\rm AM}:{\rm MC}$$$$=1:1$$

また、定理より、

$$~{\rm AG}:{\rm GL}={\rm BG}:{\rm GM}={\rm CG}:{\rm GN}$$$$=2:1$$

問題解説：三角形の重心

問題次の図で、$\triangle {\rm ABC}$ の重心を ${\rm G}$、直線 ${\rm AG}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm D}$ とするとき、次の比の値を求めよ。$$~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$

図は次のようになります。

点 ${\rm G}$ が重心であることより、$$~~~{\rm BD}:{\rm DC}=1:1$$$$~~~{\rm AG}:{\rm GD}=2:1$$となります。
ここで、$\triangle {\rm GBD}$ の面積を $S$ とすると、${\rm BD}:{\rm DC}=1:1$ で高さが等しく底辺の比が面積の比となるので、$$~~~\triangle {\rm GBD}:\triangle {\rm GDC}=1:1$$よって、$$~~~\triangle {\rm GDC}=S$$となります。

次に、${\rm AG}:{\rm GD}=2:1$ で高さが等しく底辺の比が面積の比となるので、
$$~~~\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}=2:1$$よって、$\triangle {\rm GBD}=S$ より、$$~~~\triangle {\rm ABG}=2S$$となります。

次に、$\triangle {\rm ABD}$ について、$$~~~\triangle {\rm ABD}=\triangle {\rm ABG}+\triangle {\rm GBD}$$これより、$$~~~\triangle {\rm ABD}=2S+S=3S$$となります。

次に、${\rm BD}:{\rm DC}=1:1$ で高さが等しく底辺の比が面積の比となるので、
$$~~~\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ADC}=1:1$$よって、$\triangle {\rm ABD}=3S$ より、$$~~~\triangle {\rm ADC}=3S$$となります。
また、$$\hspace{ 10 pt}\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm ABD}+\triangle {\rm ADC}$$$$\hspace{ 44 pt}=3S+3S$$$$\hspace{ 44 pt}=6S$$

したがって、答えは$$~~~~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$$$~=6S:3S:2S:S$$$$~=6:3:2:1$$となります。