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円周角と中心角

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今回の問題は「円周角と中心角」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の図の角度 \(x~,~y\) の値を求めよ。
\({\large ①}\)

\({\large ②}\)

\({\large ③}\)

\({\small (2)}\) 円 \({\rm O}\) の円上に3点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) をとり、次の比が成り立つとき、$$~~~{\rm AB}:{\rm BC}:{\rm CA}=3:4:5$$\(\angle{\rm ACB}\) \(,\) \(\angle{\rm BAC}\) \(,\) \(\angle{\rm ABC}\) の値を求めよ。

 

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円周角と中心角

Point:円周角と中心角(1) 弧の長さが等しい\(~\Leftrightarrow~\)円周角が等しい

上の図で弧 \({\rm AB}\) と弧 \({\rm CD}\) が等しいとき、

$$\angle{\rm APB}=\angle{\rm AQB}=\angle{\rm CRD}$$

 
(2) 円周角は中心角の半分である

上の図で、

$$\angle{\rm AOB}=2\angle{\rm APB}$$

 
(3) 弧の長さが等しい \(~\Leftrightarrow~\) 中心角が等しい

上の図で弧 \({\rm AB}\) と弧 \({\rm CD}\) が等しいとき、

$$\angle{\rm AOB}=\angle{\rm BOC}$$

また、

$$\angle{\rm AOC}=2\angle{\rm AOB}$$

これより、弧の長さの比と中心角の比は一致します。

 

問題:円周角と中心角

問題解説(1)

問題\({\small (1)}\) 次の図の角度 \(x~,~y\) の値を求めよ。
\({\large ①}\)

\({\large ②}\)

\({\large ③}\)

\({\large ①}\)

図より、弧 \({\rm AB}\) に対する円周角の定理より、$$~~~\angle{\rm AQB}=\angle{\rm APB}$$よって、\(x=40^\circ\) となります。
また、弧 \({\rm AB}\) に対する円周角と中心角の定理より、$$~~~\angle{\rm AOB}=2\angle{\rm APB}$$よって、$$\hspace{ 10 pt}y=2\times40^\circ$$$$\hspace{ 18 pt}=80^\circ$$
よって、答えは$$~~~x=40^\circ~,~y=80^\circ$$となります。
 
\({\large ②}\)

図より、弧 \({\rm AB}\) に対する円周角より、$$~~~\angle{\rm APB}=\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ARB}$$
また、弧 \({\rm BC}\) に対する円周角より、$$~~~\angle{\rm BQC}=\angle{\rm BRC}$$
また、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CD}\) より、対応する円周角がすべて等しいので、$$\hspace{ 10 pt}x=22^\circ\times2$$$$\hspace{ 19 pt}=44^\circ$$
また、$$\hspace{ 10 pt}y=22^\circ\times3$$$$\hspace{ 18 pt}=66^\circ$$
よって、答えは$$~~~x=44^\circ~,~y=66^\circ$$となります。
 
\({\large ③}\)

図より、大きい弧 \({\rm AB}\) に対する中心角は、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm AOB}=360^\circ-100^\circ$$$$\hspace{ 43 pt}=260^\circ$$
よって、これに対する中心角より、$$\hspace{ 10 pt}x=260^\circ\div2$$$$\hspace{ 19 pt}=130^\circ$$
よって、答えは$$~~~x=130^\circ$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 円 \({\rm O}\) の円上に3点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) をとり、次の比が成り立つとき、$$~~~{\rm AB}:{\rm BC}:{\rm CA}=3:4:5$$\(\angle{\rm ACB}\) \(,\) \(\angle{\rm BAC}\) \(,\) \(\angle{\rm ABC}\) の値を求めよ。

図は次のようになります。
$$~~~{\rm AB}:{\rm BC}:{\rm CA}=3:4:5$$これより、点 \({\rm O}\) を中心とした角を3つに分けると、$$~~~\angle{\rm AOB}:\angle{\rm BOC}:\angle{\rm COA}=3:4:5$$
\(\angle{\rm AOB}\) について、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm AOB}=\frac{3}{3+4+5}\times360^\circ=90^\circ$$よって、これに対する円周角は$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm ACB}=90^\circ\div2=45^\circ$$
次に、\(\angle{\rm BOC}\) について、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BOC}=\frac{4}{3+4+5}\times360^\circ=120^\circ$$よって、これに対する円周角は$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BAC}=120^\circ\div2=60^\circ$$
次に、\(\angle{\rm AOC}\) について、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm AOC}=\frac{5}{3+4+5}\times360^\circ=150^\circ$$よって、これに対する円周角は$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm ABC}=150^\circ\div2=75^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm ABC}=75^\circ~,~\angle{\rm ACB}=45^\circ$$$$~~~\angle{\rm BAC}=60^\circ$$となります。

 

今回のまとめ

円周角と中心角については、円周全体と各弧の比より中心角と円周角の値を求める解法をおさえておきましょう。

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