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方べきの定理

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今回の問題は「方べきの定理」です。

問題次の図において、\(x\) の値を求めよ。
\({\small (1)}\)

\({\small (2)}\)

\({\small (3)}\)

 

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方べきの定理

Point:方べきの定理解法の手順は、
2本の直線のそれぞれについて、「円上の点→交点」と進む積の値を求めます。


② 上で求めた値をイコールで結びます。

$${\rm AP}\times{\rm BP}={\rm CP}\times{\rm DP}$$

 
また、接線がある場合は
片方の直線を「(接線の長さ)2として計算します。

$${\rm AP}\times{\rm BP}={\rm TP}^2$$

(※教科書の表記と異なる場合があります。)

 

問題解説:方べきの定理

問題解説(1)

問題次の図において、\(x\) の値を求めよ。
\({\small (1)}\)

2本の直線に分けると、

直線 \({\rm AB}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm AP}\times{\rm BP}=3\times4=12$$
直線 \({\rm CD}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm CP}\times{\rm DP}=6\times x=6x$$
よって、方べきの定理より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}\times{\rm BP}={\rm CP}\times{\rm DP}$$上で求めた値より、$$\hspace{ 10 pt}12=6x$$両辺を入れ替えて、\(6\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}6x=12$$$$\hspace{ 18 pt}x=2$$
よって、答えは \(x=2\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の図において、\(x\) の値を求めよ。
\({\small (2)}\)

2本の直線に分けると、

直線 \({\rm AB}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm AP}\times{\rm BP}=(5+4)\times4=36$$
直線 \({\rm CD}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm CP}\times{\rm DP}=(9+x)\times x=x^2+9x$$
よって、方べきの定理より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}\times{\rm BP}={\rm CP}\times{\rm DP}$$上で求めた値より、$$\hspace{ 10 pt}36=x^2+9x$$両辺を入れ替えて、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+9x=36$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+9x-36=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+12)(x-3)=0$$\(x>0\) より、答えは \(x=3\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の図において、\(x\) の値を求めよ。
\({\small (3)}\)

2本の直線に分けると、

直線 \({\rm AB}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm AP}\times{\rm BP}=(6+x)\times x=x^2+6x$$
接線 \({\rm TP}\) について、$$~~~{\rm TP}^2=4^2=16$$
よって、方べきの定理より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}\times{\rm BP}={\rm TP}^2$$上で求めた値より、$$\hspace{ 10 pt}x^2+6x=16$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+6x-16=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+8)(x-2)=0$$\(x>0\) より、答えは \(x=2\) となります。

 

今回のまとめ

方べきの定理はその使い方が重要となります。2本の直線において、「円上の点→交点」を考えるようにしましょう。

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