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2つの円の位置関係と共通接線

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今回の問題は「2つの円の位置関係と共通接線」です。

問題半径 \(3\) の円と、半径 \(7\) の円について、2円の中心間の距離を \(d\) とし、それが以下の値を取るとき、2円の位置関係と共通接線の本数を答えよ。$${\small (1)}~d=2$$$${\small (2)}~d=10$$$${\small (3)}~d=14$$$${\small (4)}~d=8$$$${\small (5)}~d=4$$

 

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2つの円の位置関係と共通接線

Point:タイトル2つの円 \(C_1~,~C_2\) の半径がそれぞれ \(R~,~r\) (ただし、\(R>r\) )となり、2つの円の中心間の距離を \(d\) とするとき、
\(d\) と \(R+r\) と \(R-r\) の大小関係より、2つの円の位置関係の条件を求めます。

 
( ⅰ ) \(d>R+r\) のとき

2つの円は離れている(外部にある)
共通接線は4本

 
( ⅱ ) \(d=R+r\) のとき

2つの円は互いに外接する
共通接線は3本

 
( ⅲ ) \(R-r<d<R+r\) のとき

2つの円は2点で交わる
共通接線は2本

 
( ⅳ ) \(d=R-r\) のとき

円 \(C_2\) が円 \(C_1\) に内接する
共通接線は1本

 
( ⅴ ) \(d<R-r\) のとき

円 \(C_2\) が円 \(C_1\) の内部にある
共通接線は0本

 

問題解説:2つの円の位置関係と共通接線

問題解説(1)

問題半径 \(3\) の円と、半径 \(7\) の円について、2円の中心間の距離を \(d\) とし、それが以下の値を取るとき、2円の位置関係と共通接線の本数を答えよ。$${\small (1)}~d=2$$

2つの円の半径の和は$$~~~3+7=10$$また、半径の差は$$~~~7-3=4$$数直線上にまとめると、次のようになります。

ここで、\(d=2\) より \(d<4\) となるので、2つの円の位置関係は次の図のようになります。

これより、半径 \(3\) の円が半径 \(7\) の円の内部にあり、共通接線は0本となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~d=10$$

\(d=10\) より半径の和と等しくなるので、2つの円の位置関係は次の図のようになります。

これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は外接しており、共通接線は3本となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~d=14$$

\(d=14\) より \(10<d\) となるので、、2つの円の位置関係は次の図のようになります。

これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は離れており、共通接線は4本となります。

 

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~d=8$$

\(d=8\) より \(4<d<10\) となるので、、2つの円の位置関係は次の図のようになります。

これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は2点で交わり、共通接線は2本となります。

 

問題解説(5)

問題$${\small (5)}~d=4$$

\(d=4\) より半径の差と等しくなるので、2つの円の位置関係は次の図のようになります。

これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は内接しており、共通接線は1本となります。

 

今回のまとめ

2つの円の位置関係は、2円の半径の和と差を求めて数直線上にまとめます。これより5つの場合に分けて考えましょう。また、共通接線は位置関係の図より求めるようにしましょう。

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