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内接円と接線の条件

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今回の問題は「内接円と接線の条件」です。

問題次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) とその内接円、接点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) について、以下の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \({\rm BC}\) の長さを求めよ。

\({\small (2)}\) 内接円の半径 \(r\) を求めよ。

 

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内接円と接線の条件

Point:内接円と接線の条件三角形とその内接円について、図のように接点を \({\rm S},{\rm T}\) とすると、

円と接線の性質より、

$${\rm AS}={\rm AT}$$$$\angle{\rm ISA}=\angle{\rm ITA}=90^\circ$$

が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。
 
また、次のように \(\angle{\rm SAT}=90^\circ\) であるとき、

円より、四角形 \({\rm ASOT}\) は正方形となります。よって、

$${\rm AS}={\rm AT}={\rm OS}={\rm OT}$$

となり、円の半径と等しくなります。

 

問題解説:内接円と接線の条件

問題解説(1)

問題次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) とその内接円、接点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) について、以下の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \({\rm BC}\) の長さを求めよ。

点 \({\rm B}\) での円と接線の条件より、
$$\hspace{ 10 pt}{\rm BQ}={\rm BP}=2$$また、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}={\rm AB}-{\rm BP}$$$$\hspace{ 27 pt}=6-2$$$$\hspace{ 27 pt}=4$$
次に、点 \({\rm A}\) での円と接線の条件より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}={\rm AR}=4$$また、$$\hspace{ 10 pt}{\rm CR}={\rm AC}-{\rm AR}$$$$\hspace{ 27 pt}=7-4$$$$\hspace{ 27 pt}=3$$
次に、点 \({\rm C}\) での円と接線の条件より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm CR}={\rm CQ}=3$$また、$$\hspace{ 10 pt}{\rm BC}={\rm BQ}+{\rm CQ}$$$$\hspace{ 27 pt}=2+3$$$$\hspace{ 27 pt}=5$$
よって、答えは$$~~~{\rm BC}=5$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) とその内接円、接点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) について、以下の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 内接円の半径 \(r\) を求めよ。

点 \({\rm A}\) について、\(\angle{\rm A}=90^\circ\) で円と接線の条件より、
$$~~~{\rm AP}={\rm AR}={\rm OP}={\rm OR}=r$$
また、点 \({\rm B}\) での円と接線の条件より、$$~~~{\rm BP}={\rm BQ}=6$$
また、点 \({\rm C}\) での円と接線の条件より、$$~~~{\rm CQ}={\rm CR}=9$$
これらより、$$~~~{\rm AB}=r+6$$$$~~~{\rm BC}=6+9=15$$$$~~~{\rm AC}=r+9$$
ここで、\(\triangle {\rm ABC}\) は直角三角形であるので、三平方の定理より、$$~~~{\rm AB}^2+{\rm AC}^2={\rm BC}^2$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}(r+6)^2+(r+9)^2=15^2$$展開すると、$$\hspace{ 10 pt}r^2+12r+36+r^2+18r+81=225$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2r^2+30r+117-225=0$$$$\hspace{ 36 pt}2r^2+30r-108=0$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}r^2+15r-54=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(r+18)(r-3)=0$$\(r>0\) より、答えは$$~~~r=3$$となります。

 

今回のまとめ

内接円と接線の条件を用いて、等しい線分を図示しながら問題を解いていきましょう。また、(2)のような図形では半径と線分が等しくなり、直角三角形となるので三平方の定理を用いて計算しましょう。

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