方べきの定理
① ２本の直線のそれぞれについて、「円上の点→交点」と進む積の値を求めます。
② 上で求めた値をイコールで結びます。
また、接線がある場合は
片方の直線を「(接線の長さ)2」として計算します。
（※教科書の表記と異なる場合があります。）
問題解説：方べきの定理
問題解説(1)
\({\small (1)}\)
２本の直線に分けると、
直線 \({\rm AB}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm AP}\times{\rm BP}=3\times4=12$$
直線 \({\rm CD}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm CP}\times{\rm DP}=6\times x=6x$$
よって、方べきの定理より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}\times{\rm BP}={\rm CP}\times{\rm DP}$$上で求めた値より、$$\hspace{ 10 pt}12=6x$$両辺を入れ替えて、\(6\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}6x=12$$$$\hspace{ 18 pt}x=2$$
よって、答えは \(x=2\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\)
２本の直線に分けると、
直線 \({\rm AB}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm AP}\times{\rm BP}=(5+4)\times4=36$$
直線 \({\rm CD}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm CP}\times{\rm DP}=(9+x)\times x=x^2+9x$$
よって、方べきの定理より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}\times{\rm BP}={\rm CP}\times{\rm DP}$$上で求めた値より、$$\hspace{ 10 pt}36=x^2+9x$$両辺を入れ替えて、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+9x=36$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+9x-36=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+12)(x-3)=0$$\(x>0\) より、答えは \(x=3\) となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}\)
２本の直線に分けると、
直線 \({\rm AB}\) について、「円上の点→交点」を考えると、$$~~~{\rm AP}\times{\rm BP}=(6+x)\times x=x^2+6x$$
接線 \({\rm TP}\) について、$$~~~{\rm TP}^2=4^2=16$$
よって、方べきの定理より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AP}\times{\rm BP}={\rm TP}^2$$上で求めた値より、$$\hspace{ 10 pt}x^2+6x=16$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+6x-16=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+8)(x-2)=0$$\(x>0\) より、答えは \(x=2\) となります。
今回のまとめ
方べきの定理はその使い方が重要となります。２本の直線において、「円上の点→交点」を考えるようにしましょう。
