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三角形の内心

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今回の問題は「三角形の内心」です。

問題次の図で \(\triangle {\rm ABC}\) とその内心 \({\rm I}\) について、この内接円の直線 \({\rm AB}\) との接点を \({\rm S}\)、直線 \({\rm AC}\) との接点を \({\rm T}\) として、\(\angle{\rm A}=80^\circ\) のとき、次の角を求めよ。
$${\small (1)}~\angle{\rm BIC}$$$${\small (2)}~\angle{\rm AST}$$$${\small (3)}~\angle{\rm SIT}$$

 

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三角形の内心の性質

Point:三角形の内心【定理】三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。

このとき、交点 \({\rm I}\) を中心とすれ円を \(\triangle {\rm ABC}\) の内接円といい、点 \({\rm I}\) を内心という。
 
・内心についての性質
( ⅰ ) 角の二等分線
頂点から内心 \({\rm I}\) に引いた線は角の二等分線となるので、

$$\angle{\rm BAI}=\angle{\rm CAI}$$

が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。
 
( ⅱ ) 円と接線の性質
図のように接点を \({\rm S},{\rm T}\) とすると、

円と接線の性質より、

$${\rm AS}={\rm AT}$$$$~~~\angle{\rm ISA}=\angle{\rm ITA}=90^\circ$$

が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。

 

問題解説:三角形の内心

問題解説(1)

問題次の図で \(\triangle {\rm ABC}\) とその内心 \({\rm I}\) について、この内接円の直線 \({\rm AB}\) との接点を \({\rm S}\)、直線 \({\rm AC}\) との接点を \({\rm T}\) として、\(\angle{\rm A}=80^\circ\) のとき、次の角を求めよ。
$${\small (1)}~\angle{\rm BIC}$$

図は次のようになります。

\(\angle{\rm IBC}=x~,~\angle{\rm ICB}=y\) とすると、点 \({\rm I}\) は内心で \({\rm BI}\) \(,\) \({\rm CI}\) はそれぞれ \(\angle{\rm B}\) \(,\) \(\angle{\rm C}\) を二等分する線となるので、$$~~~\angle{\rm IBA}=\angle{\rm IBC}=x$$$$~~~\angle{\rm ICA}=\angle{\rm ICB}=y$$よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}80^\circ+2x+2y=180^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2x+2y=180^\circ-80^\circ$$$$\hspace{ 10 pt}2x+2y=100^\circ$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x+y=50^\circ$$
次に、\(\triangle {\rm IBC}\) の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BIC}+x+y=180^\circ$$ ここで、\(x+y=50^\circ\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BIC}+50^\circ=180^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BIC}=180^\circ-50^\circ$$$$\hspace{ 38 pt}=130^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm BIC}=130^\circ$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\angle{\rm AST}$$

三角形の内接円の性質より、
$$~~~{\rm AS}={\rm AT}$$よって、\(\triangle {\rm AST}\) は二等辺三角形となり底角が等しくなります。$$~~~\angle{\rm AST}=\angle{\rm ATS}$$よって、\(\triangle {\rm AST}\) の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm SAT}+\angle{\rm AST}+\angle{\rm ATS}=180^\circ$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}80^\circ+ \angle{\rm AST}+ \angle{\rm AST}=180^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2 \angle{\rm AST}=180^\circ-80^\circ$$$$\hspace{ 10 pt}2 \angle{\rm AST}=100^\circ$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt} \angle{\rm AST}=50^\circ$$
よって、答えは$$~~~ \angle{\rm AST}=50^\circ$$となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\angle{\rm SIT}$$

四角形 \({\rm ASOT}\) において、円と接線の性質より、
$$~~~\angle{\rm ISA}=\angle{\rm ITA}=90^\circ$$よって、四角形 \({\rm ASOT}\) の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm SAT}+\angle{\rm ISA}+\angle{\rm ITA}+\angle{\rm SIT}=360^\circ$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}80^\circ+90^\circ+90^\circ+\angle{\rm SIT}=360^\circ$$$$\hspace{ 10 pt}260^\circ +\angle{\rm SIT}=360^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm SIT}=360^\circ-260^\circ$$$$\hspace{ 37 pt}=100^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm SIT}=100^\circ$$となります。

 

今回のまとめ

三角形の内接円とその中心の内心についての性質は、角の二等分線と半径が接線となり辺と直交することをしっかりとおさえておきましょう。

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