Twitterフォローよろしくお願いします!

中点連結定理と平行線と比

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「中点連結定理と平行線と比」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の台形 \({\rm ABCD}\) が \({\rm AB}\parallel{\rm DC}\) \(,\) \({\rm AB}=13\) \(,\) \({\rm CD}=7\) であり、点 \({\rm E~,~F}\) がそれぞれ \({\rm AD~,~BC}\) の中点とし、\({\rm AB}\parallel{\rm EF}\) であるとき、\({\rm EF}\) の長さを求めよ。

\({\small (2)}\) 次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm BC}\parallel{\rm DE}\) \(,\) \({\rm AD}=3\) \(,\) \({\rm DB}=2\) \(,\) \({\rm AE}=2\) \(,\) \({\rm BC}=6\) のとき、\({\rm EC}\) と \({\rm DE}\) の長さを求めよ。

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

中点連結定理と平行線と比

Point:平行線と比\(\triangle {\rm ABC}\) と \({\rm AB}\) \(,\) \({\rm AC}\) 上の点 \({\rm D~,~E}\) において、

$${\small (1)}~{\rm DE}\parallel{\rm BC}~\Leftrightarrow~{\rm AD}:{\rm AB}={\rm AE}:{\rm AC}$$$${\small (2)}~{\rm DE}\parallel{\rm BC}~\Leftrightarrow~{\rm AD}:{\rm DB}={\rm AE}:{\rm EC}$$$${\small (3)}~{\rm DE}\parallel{\rm BC}~\Leftrightarrow~{\rm AD}:{\rm AB}={\rm DE}:{\rm BC}$$

Point:中点連結定理

\(\triangle {\rm ABC}\) と \({\rm AB}\) \(,\) \({\rm AC}\) のそれぞれの中点を \({\rm M~,~N}\) において、

$${\rm AM}={\rm MB}~,~{\rm AN}={\rm NC}$$$$~~~~\Leftrightarrow~{\rm MN}\parallel{\rm BC}~,~{\rm MN}=\frac{1}{2}{\rm BC}$$

 

問題解説:中点連結定理と平行線と比

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の台形 \({\rm ABCD}\) が \({\rm AB}\parallel{\rm DC}\) \(,\) \({\rm AB}=13\) \(,\) \({\rm CD}=7\) であり、点 \({\rm E~,~F}\) がそれぞれ \({\rm AD~,~BC}\) の中点とし、\({\rm AB}\parallel{\rm EF}\) であるとき、\({\rm EF}\) の長さを求めよ。

対角線 \({\rm AC}\) を引いたとき線分 \({\rm EF}\) との交点を \({\rm G}\) とすると、図は次のようになります。

ここで、\(\triangle {\rm ACD}\) において、
\({\rm AB}\parallel {\rm DC}\parallel {\rm EF}\) より、\({\rm DC}\parallel {\rm EG}\) となるので、$$~~~ {\rm AE}: {\rm ED}= {\rm AG}: {\rm GC}=1:1$$これより、中点連結定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm EG}=\frac{1}{2}{\rm AC}$$\({\rm DC}=7\) より、$$\hspace{ 27 pt}=\frac{7}{2}$$
また、\(\triangle {\rm CAB}\) において、
\({\rm AB}\parallel {\rm DC}\parallel {\rm EF}\) より、\({\rm AB}\parallel {\rm GF}\) となるので、$$~~~ {\rm CF}: {\rm FB}= {\rm CG}: {\rm GA}=1:1$$これより、中点連結定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm GF}=\frac{1}{2}{\rm AB}$$\({\rm AB}=13\) より、$$\hspace{ 27 pt}=\frac{13}{2}$$
したがって、\({\rm EF}={\rm EG}+{\rm GF}\) より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm EF}=\frac{7}{2}+\frac{13}{2}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{20}{2}$$$$\hspace{ 27 pt}=10$$よって、答えは \({\rm EF}=10\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm BC}\parallel{\rm DE}\) \(,\) \({\rm AD}=3\) \(,\) \({\rm DB}=2\) \(,\) \({\rm AE}=2\) \(,\) \({\rm BC}=6\) のとき、\({\rm EC}\) と \({\rm DE}\) の長さを求めよ。

与えられた図は次のようになります。

\({\rm BC}\parallel{\rm DE}\) より、平行線と比の関係を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AD}:{\rm DB}={\rm AE}:{\rm EC}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3:2=2:{\rm EC}$$$$\hspace{ 10 pt}3{\rm EC}=2\times2$$$$\hspace{ 10 pt}3{\rm EC}=4$$両辺を \(3\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm EC}=\frac{4}{3}$$
また、\({\rm BC}\parallel{\rm DE}\) より、平行線と比の関係を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AB}:{\rm AD}={\rm BC}:{\rm DE}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5:3=6:{\rm DE}$$$$\hspace{ 10 pt}5{\rm DE}=3\times6$$$$\hspace{ 10 pt}5{\rm DE}=18$$両辺を \(5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm DE}=\frac{18}{5}$$
よって、答えは、$$~~~{\rm EC}=\frac{4}{3}~,~{\rm DE}=\frac{18}{5}$$となります。

 

今回のまとめ

中点連結定理や平行線と比の関係は、図形からどこの比が等しくなるかを正確に読み取れるようにしましょう。

【問題一覧】数学A:図形の性質
このページは「高校数学A:図形の性質」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...