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角の二等分線と比

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今回の問題は「角の二等分線と比」です。

問題次の図で、\(\angle{\rm C}=90^\circ\) \(,\) \({\rm AB}=5\) \(,\) \({\rm AC}=3\) で \(\angle{\rm A}\) の内角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\)、\(\angle{\rm A}\) の外角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm E}\) とするとき、\({\rm DE}\) の長さを求めよ。

 

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角の二等分線と比の関係公式

Point:内角の二等分線と比\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\angle{\rm A}\) の内角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、

$${\rm AB}:{\rm AC}={\rm BD}:{\rm DC}$$

\({\rm A \to B}\) と \({\rm B \to D}\) の比」と
\({\rm A \to C}\) と \({\rm C \to D}\) の比」と覚えましょう。

Point:外角の二等分線と比

\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\angle{\rm A}\) の外角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm E}\) とすると、

$${\rm AB}:{\rm AC}={\rm BE}:{\rm CE}$$

\({\rm A \to B}\) と \({\rm B \to E}\) の比」と
\({\rm A \to C}\) と \({\rm C \to E}\) の比」と覚えましょう。

 

問題解説:角の二等分線と比

問題次の図で、\(\angle{\rm C}=90^\circ\) \(,\) \({\rm AB}=5\) \(,\) \({\rm AC}=3\) で \(\angle{\rm A}\) の内角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\)、\(\angle{\rm A}\) の外角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm E}\) とするとき、\({\rm DE}\) の長さを求めよ。

与えられた図は次のようになります。

\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AB}=5\) \(,\) \({\rm AC}=3\) より、三平方の定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}5^2={\rm BC}^2+3^2$$$$\hspace{ 10 pt}25={\rm BC}^2+9$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-{\rm BC}^2=9-25$$$$\hspace{ 10 pt}-{\rm BC}^2=-16$$$$\hspace{ 17 pt} {\rm BC}^2=16$$\({\rm BD}>0\) より、$$\hspace{ 10 pt} {\rm BC}=4$$
次に \(\angle{\rm A}\) の内角の二等分線と比の関係より、
$$\hspace{ 10 pt}{\rm BD}:{\rm DC}=5:3$$よって、$$\hspace{ 10 pt}{\rm DC}=\frac{3}{8}{\rm BC}$$\({\rm BC}=4\) より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm DC}=\frac{3}{8}\times4$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{3}{2}$$
また、\(\angle{\rm A}\) の外角の二等分線と比の関係より、
$$\hspace{ 10 pt}{\rm BE}:{\rm CE}=5:3$$これより、$$\hspace{ 10 pt}{\rm BC}:{\rm CE}=2:3$$よって、$$\hspace{ 10 pt}{\rm CE}=\frac{3}{2}{\rm BC}$$\({\rm BC}=4\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm CE}=\frac{3}{2}\times4$$$$\hspace{ 27 pt}=6$$
したがって、$$\hspace{ 10 pt}{\rm DE}={\rm DC}+{\rm CE}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{3}{2}+6$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{3+12}{2}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{15}{2}$$よって、答えは$$~~~{\rm DE}=\frac{15}{2}$$となります。

 

今回のまとめ

角の二等分線と比に関係については、図形からどこの比が等しくなるかを正確に読み取れるようにしましょう。

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