中点連結定理と平行線と比

2018.10.182020.06.09

中点連結定理と平行線と比
問題解説：中点連結定理と平行線と比
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

中点連結定理と平行線と比

Point：平行線と比$\triangle {\rm ABC}$ と ${\rm AB}$ $,$ ${\rm AC}$ 上の点 ${\rm D~,~E}$ において、

$${\small (1)}~{\rm DE}\parallel{\rm BC}~\Leftrightarrow~{\rm AD}:{\rm AB}={\rm AE}:{\rm AC}$$$${\small (2)}~{\rm DE}\parallel{\rm BC}~\Leftrightarrow~{\rm AD}:{\rm DB}={\rm AE}:{\rm EC}$$$${\small (3)}~{\rm DE}\parallel{\rm BC}~\Leftrightarrow~{\rm AD}:{\rm AB}={\rm DE}:{\rm BC}$$

Point：中点連結定理

$\triangle {\rm ABC}$ と ${\rm AB}$ $,$ ${\rm AC}$ のそれぞれの中点を ${\rm M~,~N}$ において、

$${\rm AM}={\rm MB}~,~{\rm AN}={\rm NC}$$$$~~~~\Leftrightarrow~{\rm MN}\parallel{\rm BC}~,~{\rm MN}=\frac{1}{2}{\rm BC}$$

問題解説：中点連結定理と平行線と比

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 次の台形 ${\rm ABCD}$ が ${\rm AB}\parallel{\rm DC}$ $,$ ${\rm AB}=13$ $,$ ${\rm CD}=7$ であり、点 ${\rm E~,~F}$ がそれぞれ ${\rm AD~,~BC}$ の中点とし、${\rm AB}\parallel{\rm EF}$ であるとき、${\rm EF}$ の長さを求めよ。

対角線 ${\rm AC}$ を引いたとき線分 ${\rm EF}$ との交点を ${\rm G}$ とすると、図は次のようになります。

ここで、$\triangle {\rm ACD}$ において、
${\rm AB}\parallel {\rm DC}\parallel {\rm EF}$ より、${\rm DC}\parallel {\rm EG}$ となるので、$$~~~ {\rm AE}: {\rm ED}= {\rm AG}: {\rm GC}=1:1$$これより、中点連結定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm EG}=\frac{1}{2}{\rm AC}$$${\rm DC}=7$ より、$$\hspace{ 27 pt}=\frac{7}{2}$$
また、$\triangle {\rm CAB}$ において、
${\rm AB}\parallel {\rm DC}\parallel {\rm EF}$ より、${\rm AB}\parallel {\rm GF}$ となるので、$$~~~ {\rm CF}: {\rm FB}= {\rm CG}: {\rm GA}=1:1$$これより、中点連結定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm GF}=\frac{1}{2}{\rm AB}$$${\rm AB}=13$ より、$$\hspace{ 27 pt}=\frac{13}{2}$$
したがって、${\rm EF}={\rm EG}+{\rm GF}$ より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm EF}=\frac{7}{2}+\frac{13}{2}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{20}{2}$$$$\hspace{ 27 pt}=10$$よって、答えは ${\rm EF}=10$ となります。

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
${\small (2)}$ 次の $\triangle {\rm ABC}$ について、${\rm BC}\parallel{\rm DE}$ $,$ ${\rm AD}=3$ $,$ ${\rm DB}=2$ $,$ ${\rm AE}=2$ $,$ ${\rm BC}=6$ のとき、${\rm EC}$ と ${\rm DE}$ の長さを求めよ。

与えられた図は次のようになります。

${\rm BC}\parallel{\rm DE}$ より、平行線と比の関係を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AD}:{\rm DB}={\rm AE}:{\rm EC}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3:2=2:{\rm EC}$$$$\hspace{ 10 pt}3{\rm EC}=2\times2$$$$\hspace{ 10 pt}3{\rm EC}=4$$両辺を $3$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm EC}=\frac{4}{3}$$
また、${\rm BC}\parallel{\rm DE}$ より、平行線と比の関係を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AB}:{\rm AD}={\rm BC}:{\rm DE}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5:3=6:{\rm DE}$$$$\hspace{ 10 pt}5{\rm DE}=3\times6$$$$\hspace{ 10 pt}5{\rm DE}=18$$両辺を $5$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm DE}=\frac{18}{5}$$
よって、答えは、$$~~~{\rm EC}=\frac{4}{3}~,~{\rm DE}=\frac{18}{5}$$となります。