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対数関数の微分

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今回の問題は「対数関数の微分」です。

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=\log (2x+1)$$$${\small (2)}~y=(\log x)^3$$$${\small (3)}~y=\log_{10} |3x-1|$$$${\small (4)}~y=x^2\log x$$

 

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対数関数の微分の解法

Point:対数関数の微分\(t\) が \(x\) の関数のときに、
底が \(e\) の自然対数 \(\log t\) の微分は、

$$~{\large ①}~(\log t)’=\frac{1}{t} \cdot t’~$$

底が \(a\) の対数関数の微分は、

$$~{\large ②}~(\log_{a} t)’=\frac{1}{t \log a} \cdot t’~$$

それぞれ合成関数の微分をかけるのを忘れないようにしましょう。
 
また、真数に絶対値が付いていても公式は同じになります。

$$~{\large ③}~(\log |t|)’=\frac{1}{t} \cdot t’~$$$$~{\large ④}~(\log_{a} |t|)’=\frac{1}{t \log a} \cdot t’~$$

 

問題解説:対数関数の微分

問題解説(1)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=\log (2x+1)$$

$$\hspace{ 10 pt}y=\log (2x+1)$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)’$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{1}{2x+1} \cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{2}{2x+1}$$よって、答えは$$~~~y’=\frac{2}{2x+1}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (2)}~y=(\log x)^3$$

$$\hspace{ 10 pt}y=(\log x)^3$$\(x\) について微分すると、3次関数と考えて合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=3\cdot (\log x)^{3-1} \cdot (\log x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{3(\log x)^2}{x}$$よって、答えは$$~~~y’=\frac{3(\log x)^2}{x}$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (3)}~y=\log_{10} |3x-1|$$

$$\hspace{ 10 pt}y=\log_{10} |3x-1|$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{1}{(3x-1)\log 10} \cdot (3x-1)’$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{1}{(3x-1)\log 10} \cdot 3$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{3}{(3x-1)\log 10}$$よって、答えは$$~~~y’=\frac{3}{(3x-1)\log 10}$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (4)}~y=x^2\log x$$

$$\hspace{ 10 pt}y=x^2\log x$$\(x\) について微分すると、積の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=(x^2)’\log x+x^2(\log x)’$$合成関数の微分より、$$\hspace{ 21 pt}=2x\log x+x^2 \cdot \frac{1}{x}$$$$\hspace{ 21 pt}=2x \log x+x$$$$\hspace{ 21 pt}=x(2\log x +1)$$よって、答えは$$~~~y’=x(2\log x +1)$$となります。

 

今回のまとめ

対数関数の微分は公式と、その解法のパターンを覚えておきましょう。計算は合成関数の微分に注意しましょう。

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