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条件付き確率

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今回の問題は「条件付き確率」です。

問題ある学校で数学が好きな生徒は40%で、英語が好きな生徒は60%で、両方好きな生徒は30%である。次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)ある生徒が数学を好きとわかっていて、その生徒が英語も好きな確率
\({\small (2)}~\)ある生徒が英語を好きとわかっていて、その生徒が数学も好きな確率

 

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条件付き確率の解法

Point:条件付き確率ある事象Aが起こるとわかっていて、そのとき別の事象Bも起こる確率を条件付き確率といいます。
このとき、この確率を \({\rm P_{A}(B) }\) と表します。
 
ここで事象Aが起こる確率を \({\rm P(A) }\)、AかつBが起こる確率を \({\rm P(A\cap B) }\) とするとき、
条件付き確率 \({\rm P_{A}(B) }\) は、(AかつBの確率)÷(Aが起こる確率)と計算できるので、

$${\rm P_{A}(B) }=\frac{{\rm P(A\cap B) }}{{\rm P(A) }}$$

となります。
 
条件となっている確率Aが分母にくると覚えておきましょう!

 

問題解説:条件付き確率

問題解説(1)

問題ある学校で数学が好きな生徒は40%で、英語が好きな生徒は60%で、両方好きな生徒は30%である。次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)ある生徒が数学を好きとわかっていて、その生徒が英語も好きな確率

問題文より「数学が好きとわかっていて」とあるので「数学が好き」が条件となります。
 
数学が好きな生徒の確率は \({\Large \frac{40}{100}}\) となります。また、数学も英語も好きな生徒の確率は \({\Large \frac{30}{100}}\) となります。
 
したがって、数学が好きとわかっていて英語も好きな確率は、
(両方好きな生徒の確率)÷(数学が好きな生徒の確率)より計算式は$$~~~~~~\frac{30}{100} \div \frac{40}{100}$$$$~=\frac{30}{100} \times \frac{100}{40}$$$$~=\frac{30}{40}$$$$~=\frac{3}{4}$$よって、答えは \({\Large \frac{3}{4}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題ある学校で数学が好きな生徒は40%で、英語が好きな生徒は60%で、両方好きな生徒は30%である。次の確率を求めよ。
\({\small (2)}~\)ある生徒が英語を好きとわかっていて、その生徒が数学も好きな確率

問題文より「英語が好きとわかっていて」とあるので「英語が好き」が条件となります。
 
英語が好きな生徒の確率は \({\Large \frac{60}{100}}\) となります。また、数学も英語も好きな生徒の確率は \({\Large \frac{30}{100}}\) となります。
 
したがって、英語が好きとわかっていて数学も好きな確率は、
(両方好きな生徒の確率)÷(英語が好きな生徒の確率)より計算式は$$~~~~~~\frac{30}{100} \div \frac{60}{100}$$$$~=\frac{30}{100} \times \frac{100}{60}$$$$~=\frac{30}{60}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}\) となります。

 

今回のまとめ

条件付き確率では、問題文より何が条件となっているか読み取るのが重要です。条件がわかったら(ともに起こるの確率)÷(条件が起こる確率)で条件付き確率を求めましょう!

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