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組合せの記号

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今回の問題は「組合せの記号」です。

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~{}_{5}{\rm C}_{3}$$$${\small (2)}~{}_{7}{\rm C}_{2}$$ $${\small (3)}~{}_{9}{\rm C}_{7}$$$${\small (4)}~{}_{6}{\rm C}_{6}$$$${\small (5)}~{}_{5}{\rm C}_{0}$$

 

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組合せの記号の使い方

Point:組合せの記号\( n\) 個のものから\( r\) 個選ぶ組合せは、記号 \(\rm C\) を用いて\({}_n{\rm C}_{r}\) となり、その計算方法は、

$${}_n {\rm C}_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

 
この式そのものを覚えるのは大変だと思うので、分母分子それぞれの計算方法を暗記しましょう。
・分子は \( n\) から \( r\) 個の整数を1つ1つ数字を \(-1\) しながらかけ算
・分母は \( r\) から \( r\) 個の整数を1つ1つ数字を \(-1\) しながらかけ算
かけ算する整数は1つ1つ数字を \( -1\) していくのを忘れないように!
 
例えば、\({}_{4}{\rm C}_{3}\) の場合は、
 分子は \(4\) から3つのかけ算
 分母は \(3\) から3つのかけ算
よって、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{3}=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 1}=4$$
\({}_{8}{\rm C}_{4}\) の場合は、
 分子は \(8\) から4つのかけ算
 分母は \(4\) から4つのかけ算
よって、$$~~~{}_{8}{\rm C}_{4}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70$$

 

問題解説:組合せの記号

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~{}_{5}{\rm C}_{3}$$

5つのものから3つ選ぶ組合せより
 分子は \(5\) から3つのかけ算
 分母は \(3\) から3つのかけ算
よって、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{3}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}$$$$~~~~~~~~~=5 \cdot 2$$$$~~~~~~~~~=10$$答えは \(10\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。$${\small (2)}~{}_{7}{\rm C}_{2}$$

7つのものから2つ選ぶ組合せより
 分子は \(7\) から2つのかけ算
 分母は \(2\) から2つのかけ算
よって、$$~~~{}_{7}{\rm C}_{2}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}$$$$~~~~~~~~~=7 \cdot 3$$$$~~~~~~~~~=21$$答えは \(21\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の計算をせよ。$${\small (3)}~{}_{9}{\rm C}_{7}$$

9つのものから7つ選ぶ組合せは、9つのものから2つ選ぶ組合せと等しいことから、$$~~~{}_{9}{\rm C}_{7}={}_{9}{\rm C}_{2}$$ 分子は \(9\) から2つのかけ算
 分母は \(2\) から2つのかけ算
よって、$$~~~{}_{9}{\rm C}_{2}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}$$$$~~~~~~~~~=9 \cdot 4$$$$~~~~~~~~~=36$$答えは \(36\) となります。
 
このように選ぶものの数が多い場合は、逆に選ばない方で考えてみましょう。

 

問題解説(4)

問題次の計算をせよ。$${\small (4)}~{}_{6}{\rm C}_{6}$$

6つのものから6つ選ぶ組合せは、すべてのものを選ぶ1通りのみとなるので、$$~~~{}_{6}{\rm C}_{6}=1$$よって、答えは \(1\) となります。
 
一般的に \({}_{n}{\rm C}_{n}=1\) が成り立ちます。

 

問題解説(5)

問題次の計算をせよ。$${\small (5)}~{}_{5}{\rm C}_{0}$$

5つのものから0つ選ぶ組合せは、すなわち何も選ばない1通りとなるので、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{0}=1$$よって、答えは \(1\) となります。
 
一般的に \({}_{n}{\rm C}_{0}=1\) が成り立ちます。

 

今回のまとめ

組合せの計算は練習してできるようになりましょう。また、選ばない方を数える方法や \({}_{n}{\rm C}_{n}=1\)、\({}_{n}{\rm C}_{0}=1\) などの計算方法も覚えておきましょう。

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