Twitterフォローよろしくお願いします!

余事象の確率

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「余事象の確率」です。

問題次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)赤玉5個と白玉7個が入った袋から同時に3個取り出すとき、少なくとも赤玉1個を取り出す確率を求めよ。
\({\small (2)}~\)さいころを2個同時に投げるとき、目の和が3の倍数でない確率を求めよ。

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

余事象の確率の解法

Point:余事象の確率余事象の確率は、

ある事象Aが起こる確率を求めたいとき、まずその否定である事象Aが起こらない確率を求めます。それを1から引けば事象Aが起こる確率を求めることができます。
(Aの確率) = 1 − (Aでない確率)

 

問題解説:余事象の確率

問題解説(1)

問題次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)赤玉5個と白玉7個が入った袋から同時に3個取り出すとき、少なくとも赤玉1個を取り出す確率を求めよ。

「少なくとも〜」とあります。このワードが出てきたら余事象の確率で簡単に計算できるので、しっかりと覚えておきましょう!
「少なくとも赤玉を1個」とあるので、そのまま考えると「赤玉が3個」「赤玉が2個」「赤玉が1個」の3つの場合分けが必要となります。
しかし、余事象を考えると「赤玉が0個」すなわち「すべて白玉」のときを考えればよいことになります。
 
すべての場合の数は12個の玉から同時に3個取り出すので、$$~~~{}_{12}{\rm C}_{3}=\frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1}=220$$よって、220通りとなります。
 
次に「少なくとも赤玉を1個」の否定である「3個すべてが白玉」を考えると、7個の白玉から3個取り出すので、$$~~~{}_{7}{\rm C}_{3}=\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=35$$よって、35通りとなります。
 
したがって、求める確率は「すべて白玉」の確率が \( {\Large \frac{35}{220}} \) であることより、$$~~~~~~1-\frac{35}{220}$$$$~=1-\frac{7}{44}$$$$~=\frac{37}{44}$$答えは \( {\Large \frac{37}{44}} \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の確率を求めよ。
\({\small (2)}~\)さいころを2個同時に投げるとき、目の和が3の倍数でない確率を求めよ。

次の問題では「〜でない」と否定文となっています。このワードでも余事象を考えると簡単になり「〜である」確率を求めましょう。
 
すべての場合の数は、さいころ2個の表より36通りとなる。
 
また、「3の倍数でない」の余事象の「3の倍数となる」場合の数は次の表より よって、12通りなります。

 
したがって、求める確率はであることより、$$~~~~~~1-\frac{12}{36}$$$$~=1-\frac{1}{3}$$$$~=\frac{2}{3}$$答えは \( {\Large \frac{2}{3}} \) となります。

 

今回のまとめ

いかがでしょうか?「少なくとも〜」や「〜でない」などの否定文は余事象を用いて計算すると楽になります。しっかりと理解しできるようになりましょう。

【問題一覧】数学A:場合の数と確率
このページは「高校数学A:場合の数と確率」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...