余事象の確率の解法
ある事象Ａが起こる確率を求めたいとき、まずその否定である事象Ａが起こらない確率を求めます。それを１から引けば事象Ａが起こる確率を求めることができます。
(Ａの確率) ＝ １ − (Ａでない確率)
問題解説：余事象の確率
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)赤玉５個と白玉７個が入った袋から同時に３個取り出すとき、少なくとも赤玉１個を取り出す確率を求めよ。
「少なくとも〜」とあります。このワードが出てきたら余事象の確率で簡単に計算できるので、しっかりと覚えておきましょう！
「少なくとも赤玉を１個」とあるので、そのまま考えると「赤玉が３個」「赤玉が２個」「赤玉が１個」の３つの場合分けが必要となります。
しかし、余事象を考えると「赤玉が０個」すなわち「すべて白玉」のときを考えればよいことになります。
すべての場合の数は12個の玉から同時に３個取り出すので、$$~~~{}_{12}{\rm C}_{3}=\frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1}=220$$よって、220通りとなります。
次に「少なくとも赤玉を１個」の否定である「３個すべてが白玉」を考えると、７個の白玉から３個取り出すので、$$~~~{}_{7}{\rm C}_{3}=\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=35$$よって、35通りとなります。
したがって、求める確率は「すべて白玉」の確率が \( {\Large \frac{35}{220}} \) であることより、$$~~~~~~1-\frac{35}{220}$$$$~=1-\frac{7}{44}$$$$~=\frac{37}{44}$$答えは \( {\Large \frac{37}{44}} \) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)さいころを２個同時に投げるとき、目の和が３の倍数でない確率を求めよ。
次の問題では「〜でない」と否定文となっています。このワードでも余事象を考えると簡単になり「〜である」確率を求めましょう。
すべての場合の数は、さいころ２個の表より36通りとなる。
また、「３の倍数でない」の余事象の「３の倍数となる」場合の数は次の表より よって、12通りなります。
したがって、求める確率はであることより、$$~~~~~~1-\frac{12}{36}$$$$~=1-\frac{1}{3}$$$$~=\frac{2}{3}$$答えは \( {\Large \frac{2}{3}} \) となります。
今回のまとめ
いかがでしょうか？「少なくとも〜」や「〜でない」などの否定文は余事象を用いて計算すると楽になります。しっかりと理解しできるようになりましょう。
