数学Ⅲ｜極限

高校数学Ⅲ「極限」の基本例題40問を一覧で紹介。数列の極限・無限等比数列・無限級数・無限等比級数・関数の極限・三角関数の極限・はさみうちの原理・関数の連続性・中間値の定理の解法のPointと詳しい解説へのリンク付き。

「極限・無限級数で表された関数の不連続」の基本例題解説。xの値で場合分けをして極限を求める方法と、初項が0かどうかで場合分けをして無限等比級数の和を求める方法を解説します。グラフをかき、場合分けの境目で不連続となるxの値を求めます。

「範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理」の基本例題解説。中間値の定理を用いて、方程式が範囲内に少なくとも1つの実数解をもつことを証明する方法を、関数が閉区間で連続であることと、区間の両端の値が異符号であることを示す手順で解説します。

閉区間と関数が最大値・最小値をもつ条件を解説。閉区間で連続な関数は、その閉区間で必ず最大値・最小値をもちます。開区間で連続な関数は最大値・最小値をもつことも、もたないこともあるため、区間の端の値が含まれるかに注意して値域を調べる方法を詳しく解説します。

「関数の連続・不連続の調べ方」の基本例題解説ページ。極限値を求めて成り立てば連続、成り立たなければ不連続となる手順や、右側極限と左側極限が一致しないとき極限値は存在しないこと、無理関数・分数関数・対数関数などは定義域で連続であるので定義域を区間で表す方法を解説。

「放物線上の点と関数の極限」の基本例題解説です。放物線上の点の座標を表し、点が原点に限りなく近づくときに、条件から求めた点の座標が近づいていく点を、約分して不定形を解消する方法で求める手順を教科書より詳しく解説します。

「図形の性質と三角関数の極限」の基本例題解説です。おうぎ形の弧の長さと、二等辺三角形の頂点から垂線を下ろして求めた弦の長さを表し、逆数として考える流れも含めて、公式を利用して極限を求める方法を教科書より詳しく解説します。

「置き換えを行う三角関数の極限」の基本例題解説ページです。そのままでは公式が使えない三角関数の極限は、極限が近づく値に注目してxをtの式で置き換え、tの三角関数として極限を求めます。解法のPointと詳しい解説で確認しましょう。

sinx/xの公式を使った三角関数の極限の求め方を解説。sinの角と分母を揃えて公式を使う方法、tanを含む極限を相互関係の公式でsinとcosに分ける方法、分母と分子に同じ式をかけて相互関係の公式を使う方法を、数学Ⅲ極限の基本例題で詳しく解説します。

「三角関数の極限とはさみうちの原理」の基本例題解説。値が一定に近づかない三角関数を含む関数の極限を、三角関数の絶対値のとりうる値の範囲を不等式で表し、関数の絶対値を2つの関数ではさむことで、はさみうちの原理より求める求め方を詳しく解説します。

「三角関数の極限」の基本例題解説ページです。三角関数のグラフより、値が限りなく近づく様子から極限を求める方法を詳しく解説。正の値や負の値をとりながら近づく場合や、極限が一致しないため極限はない場合の考え方も紹介します。

「指数関数と対数関数の極限と不定形」の解説ページです。不定形となる関数の極限の求め方を、底が最も大きい項でくくる、分母と分子のすべての項を割る、対数の性質「対数の差は真数の商」で1つの対数にまとめるなどの手順で詳しく解説します。

「指数関数と対数関数の極限」の基本例題解説ページです。グラフをかいて、値が限りなく大きくなるのか、限りなく近づくのか、負でその絶対値が限りなく大きくなるのかを調べる、指数関数と対数関数の極限の求め方の解法のPointと詳しい解説。

「無限大に向かう無理関数の極限」の基本例題解説ページです。根号を含む式が不定形となる場合に分子を有理化する方法と、置き換えて極限を求める手順、分母の最高次数の文字で分母と分子のすべての項を割る方法を詳しく解説します。

「無限大に向かう関数の極限と不定形」の基本例題解説ページです。そのままでは極限が決まらない不定形かどうかを確認し、最高次数の文字でくくる、分母の最高次数の文字で分母と分子のすべての項を割るなどの変形で不定形を解消して極限を求める手順を詳しく解説します。