- 数学Ⅲ｜極限「指数関数と対数関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜指数関数と対数関数の極限
極限 29関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}2^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}2^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{2}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{2}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{\frac{1}{2}}x\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
指数関数と対数関数の極限
Point：指数関数と対数関数の極限
\(a \gt 1\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a^x=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}a^x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a^x=0~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}a^x=\infty\)
対数関数 \(y=\log_{a}x\) において、
\(a \gt 1\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{a}x=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{a}x=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{a}x=-\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{a}x=\infty\)
※ グラフをかいて、\(x \to \infty\) や \(x \to -\infty~,~x \to +0\) のときの \(y\) の値の変化を調べる。
指数関数 \(y=a^x\) において、
\(a \gt 1\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a^x=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}a^x=0\)
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a^x=0~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}a^x=\infty\)
対数関数 \(y=\log_{a}x\) において、
\(a \gt 1\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{a}x=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{a}x=-\infty\)
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{a}x=-\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{a}x=\infty\)
※ \(x \to +0\) は、\(x\) が正の値をとりながら \(0\) に限りなく近づくことを表す。
※ グラフをかいて、\(x \to \infty\) や \(x \to -\infty~,~x \to +0\) のときの \(y\) の値の変化を調べる。
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詳しい解説｜指数関数と対数関数の極限
極限 29関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}2^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}2^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{2}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{2}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{\frac{1}{2}}x\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(y=2^x\) のグラフは、
\(x \to \infty\) のとき、\(2^x\) の値は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}2^x=\infty\)
また、\(x \to -\infty\) のとき、\(2^x\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}2^x=0\)
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}2^x=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}2^x=0\) となる
\(y=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x\) のグラフは、
\(x \to \infty\) のとき、\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x=0\)
また、\(x \to -\infty\) のとき、\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x\) の値は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x=\infty\)
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x=0~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x=\infty\) となる
\(y=\log_{2}x\) のグラフは、
\(x \to \infty\) のとき、\(\log_{2}x\) の値は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{2}x=\infty\)
また、\(x \to +0\) のとき、\(\log_{2}x\) の値は負でその絶対値が限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{2}x=-\infty\)
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{2}x=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{2}x=-\infty\) となる
\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) のグラフは、
\(x \to \infty\) のとき、\(\log_{\frac{1}{2}}x\) の値は負でその絶対値が限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}x=-\infty\)
また、\(x \to +0\) のとき、\(\log_{\frac{1}{2}}x\) の値は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{\frac{1}{2}}x=\infty\)
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}x=-\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{\frac{1}{2}}x=\infty\) となる
