- 数学Ⅲ｜極限「無限大に向かう無理関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限大に向かう無理関数の極限
極限 28関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})\) の求め方は？また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)\) を \(x=-t\) と置き換えて求める方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
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無限大に向かう無理関数の極限
解法のPoint
無限大に向かう無理関数の極限
Point：無限大に向かう無理関数の極限\(x \to \infty\) のとき、根号を含む式が \(\infty-\infty\) の不定形となる場合は、分母が \(1\) の分数とみて、次の式を用いて分子を有理化する。
\((\sqrt{\,A\,}-\sqrt{\,B\,})(\sqrt{\,A\,}+\sqrt{\,B\,})=A-B\)
\(x \to -\infty\) の極限は、\(x=-t\) とおいて \(t \to \infty\) の極限に置き換えて求める。
\(x=-t\) と置き換えて極限を求める手順は、
① \(x=-t\) とおき、\(x \to -\infty\) のとき \(t \to \infty\) となることより、\(t\) の極限に書き換える。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}(\sqrt{\,t^2-t\,}-t)\end{eqnarray}\)
② \(\infty-\infty\) の不定形となるので、分母が \(1\) の分数とみて分子を有理化する。
\(\sqrt{\,t^2-t\,}-t=\displaystyle \frac{\,-t\,}{\,\sqrt{\,t^2-t\,}+t\,}\)
③ 有理化した後に分母と分子がともに発散するときは、分母の最高次数の文字 \(t\) で、分母と分子のすべての項を割り、極限を求める。
\((\sqrt{\,A\,}-\sqrt{\,B\,})(\sqrt{\,A\,}+\sqrt{\,B\,})=A-B\)
\(x \to -\infty\) の極限は、\(x=-t\) とおいて \(t \to \infty\) の極限に置き換えて求める。
\(x=-t\) と置き換えて極限を求める手順は、
① \(x=-t\) とおき、\(x \to -\infty\) のとき \(t \to \infty\) となることより、\(t\) の極限に書き換える。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}(\sqrt{\,t^2-t\,}-t)\end{eqnarray}\)
② \(\infty-\infty\) の不定形となるので、分母が \(1\) の分数とみて分子を有理化する。
\(\sqrt{\,t^2-t\,}-t=\displaystyle \frac{\,-t\,}{\,\sqrt{\,t^2-t\,}+t\,}\)
③ 有理化した後に分母と分子がともに発散するときは、分母の最高次数の文字 \(t\) で、分母と分子のすべての項を割り、極限を求める。
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詳しい解説｜無限大に向かう無理関数の極限
極限 28関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})\) の求め方は？また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)\) を \(x=-t\) と置き換えて求める方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})\) について、
\(x \to \infty\) のとき、\(\sqrt{\,x+1\,}\) と \(\sqrt{\,x\,}\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、分母が \(1\) の分数とみて、分母と分子に \(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{\,x\,}\) を掛けて分子を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{\,x\,})\,}{\,\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(x+1)-x\,}{\,\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、分母 \(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{\,x\,}\) は \(\infty\) に発散するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})=0\) となる
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)\) について、
\(x=-t\) とおくと、\(x \to -\infty\) のとき \(t \to \infty\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\left\{\,\sqrt{\,(-t)^2+(-t)\,}+(-t)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}(\sqrt{\,t^2-t\,}-t)\end{eqnarray}\)
\(t \to \infty\) のとき、\(\sqrt{\,t^2-t\,}\) と \(t\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、分母が \(1\) の分数とみて、分母と分子に \(\sqrt{\,t^2-t\,}+t\) を掛けて分子を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,t^2-t\,}-t)(\sqrt{\,t^2-t\,}+t)\,}{\,\sqrt{\,t^2-t\,}+t\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \frac{\,(t^2-t)-t^2\,}{\,\sqrt{\,t^2-t\,}+t\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \frac{\,-t\,}{\,\sqrt{\,t^2-t\,}+t\,}\end{eqnarray}\)
\(t \to \infty\) のとき、分子 \(-t\) は \(-\infty\) に、分母 \(\sqrt{\,t^2-t\,}+t\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(t\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-t\,}{\,t\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,t^2-t\,}\,}{\,t\,}+\displaystyle \frac{\,t\,}{\,t\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ \(t \gt 0\) より \(t=\sqrt{\,t^2\,}\) として、\(\sqrt{\,t^2-t\,}\) を割る。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,t^2-t\,}{\,t^2\,}\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sqrt{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\,}+1\,}\end{eqnarray}\)
\(t \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sqrt{\,1-0\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
