このページは、「無限大に向かう無理関数の極限」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x \to \infty\) のとき、\(f(x)=\sqrt{\,x^2+1\,}-ax\) が収束するような正の定数 \(a\) の値を求めよ。また、そのときの \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.60 問題 14
関数 \(f(x)=\sqrt{\,x^2+1\,}-ax\) について、
\(a \gt 0\) より、\(x \to \infty\) のとき、\(\sqrt{\,x^2+1\,}\) と \(ax\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、分母が \(1\) の分数とみて、分母と分子に \(\sqrt{\,x^2+1\,}+ax\) を掛けて分子を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x^2+1\,}-ax)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,x^2+1\,}-ax)(\sqrt{\,x^2+1\,}+ax)\,}{\,\sqrt{\,x^2+1\,}+ax\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(x^2+1)-a^2x^2\,}{\,\sqrt{\,x^2+1\,}+ax\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(1-a^2)x^2+1\,}{\,\sqrt{\,x^2+1\,}+ax\,}\end{eqnarray}\)
ここで、分母の最高次数の文字 \(x\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,(1-a^2)x^2\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+1\,}\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ \(x \gt 0\) より \(x=\sqrt{\,x^2\,}\) として、\(\sqrt{\,x^2+1\,}\) を割る。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(1-a^2)x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2\,}\,}+a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(1-a^2)x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,\sqrt{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}+a\,}\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \to 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,} \to 0\) となるので、分母は \(\sqrt{\,1\,}+a=1+a\) に収束する
\(1-a^2 \neq 0\) のとき、分子の \((1-a^2)x\) は \(\infty\) または \(-\infty\) に発散し、\(f(x)\) も発散するので、\(f(x)\) が収束するためには \(1-a^2=0\) となる必要がある
\(\begin{eqnarray}~~~1-a^2&=&0
\\[3pt]~~~a^2&=&1
\\[3pt]~~~a&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\(a\) は正の定数より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(a=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,(1-1^2)x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,\sqrt{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,\sqrt{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,\sqrt{\,1+0\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=1~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0\) となる
