- 数学Ⅲ｜極限「無限大に向かう関数の極限と不定形」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限大に向かう関数の極限と不定形
極限 27関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x^2-2x+3)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限大に向かう関数の極限と不定形
Point：無限大に向かう関数の極限と不定形
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(x \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② \(\infty-\infty\) の形のときは、最高次数の文字でくくる。
\(x^2-2x+3=x^2\left(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\right)\)
③ \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の最高次数の文字で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}=\displaystyle \frac{\,1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}\)
④ \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=0\) などを用いて、極限を求める。
\(x \to \infty\) のとき、そのままでは極限が決まらない次の形を不定形という。
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(x \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② \(\infty-\infty\) の形のときは、最高次数の文字でくくる。
\(x^2-2x+3=x^2\left(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\right)\)
③ \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の最高次数の文字で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}=\displaystyle \frac{\,1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}\)
④ \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=0\) などを用いて、極限を求める。
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詳しい解説｜無限大に向かう関数の極限と不定形
極限 27関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x^2-2x+3)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x^2-2x+3)\) について、
\(x \to \infty\) のとき、\(x^2\) は \(\infty\) に発散し、\(-2x\) は \(-\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、最高次数の文字 \(x^2\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x^2-2x+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(x^2\cdot 1-x^2\cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}+x^2\cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^2\left(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、\(x^2\) は \(\infty\) に発散し、
\(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\) は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \to 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,} \to 0\) より \(1\) に収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x^2-2x+3)=\infty\) となる
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}\) について、
\(x \to \infty\) のとき、分子 \(x^2-4x+1\) と分母 \(x^2-1\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(x^2\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,x^2\,}-\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,x^2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \to 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0+0\,}{\,1-0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}=1\) となる
