- 数学Ⅲ｜極限「指数関数と対数関数の極限と不定形」の基本例題解説ページです。
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問題｜指数関数と対数関数の極限と不定形
極限 30関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(3^x-2^x)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\{\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)\}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
指数関数と対数関数の極限と不定形
Point：指数関数と対数関数の極限と不定形
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(x \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② 不定形が解消されるように式変形する。
・指数関数の \(\infty-\infty\) の形のときは、底が最も大きい項でくくる。
\(3^x-2^x=3^x\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\right\}\)
・指数関数の \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の底が最も大きい項で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}=\displaystyle \frac{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\,}\)
・対数関数の \(\infty-\infty\) の形のときは、対数の性質「対数の差は真数の商」を用いて \(1\) つの対数にまとめる。
\(\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)=\log_{3}\displaystyle \frac{\,9x-1\,}{\,x+1\,}\)
③ 指数関数や分数関数の極限を用いて、全体の関数の極限を求める。
指数関数や対数関数を含む関数で、\(x \to \infty\) のとき、そのままでは極限が決まらない次の形を不定形という。
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(x \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② 不定形が解消されるように式変形する。
・指数関数の \(\infty-\infty\) の形のときは、底が最も大きい項でくくる。
\(3^x-2^x=3^x\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\right\}\)
・指数関数の \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の底が最も大きい項で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}=\displaystyle \frac{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\,}\)
・対数関数の \(\infty-\infty\) の形のときは、対数の性質「対数の差は真数の商」を用いて \(1\) つの対数にまとめる。
\(\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)=\log_{3}\displaystyle \frac{\,9x-1\,}{\,x+1\,}\)
③ 指数関数や分数関数の極限を用いて、全体の関数の極限を求める。
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詳しい解説｜指数関数と対数関数の極限と不定形
極限 30関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(3^x-2^x)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\{\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)\}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(3^x-2^x)\) について、
\(3\gt 1~,~2\gt 1\) より、\(x \to \infty\) のとき、\(3^x\) と \(2^x\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、底が最も大きい \(3^x\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}(3^x-2^x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left\{3^x\cdot 1-3^x\cdot \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}3^x\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\right\}\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、\(3^x\) は \(\infty\) に発散し、
\(0\lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x \to 0\) となり、
\(1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\) は \(1\) に収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(3^x-2^x)=\infty\) となる
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}\) について、
\(x \to \infty\) のとき、分子 \(3^x-2^x\) は \(\infty-\infty\) の不定形、分母 \(3^x+2^x\) は \(\infty\) に発散するので、分数全体として不定形となる
ここで、分母の底が最も大きい \(3^x\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3^x\,}{\,3^x\,}-\displaystyle \frac{\,2^x\,}{\,3^x\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3^x\,}{\,3^x\,}+\displaystyle \frac{\,2^x\,}{\,3^x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x\,}\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、\(0\lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^x \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}=1\) となる
関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\{\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)\}\) について、
\(x \to \infty\) のとき、\(\log_{3}(9x-1)\) と \(\log_{3}(x+1)\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、対数の性質「対数の差は真数の商」を用いて \(1\) つの対数にまとめ、真数の分母の最高次数の文字 \(x\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\{\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{3}\displaystyle \frac{\,9x-1\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{3}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,9x\,}{\,x\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{3}\displaystyle \frac{\,9-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(x \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{3}\displaystyle \frac{\,9-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{3}9
\\[3pt]~~~&=&\log_{3}3^2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\{\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)\}=2\) となる
