- 数学Ⅲ｜極限「三角関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の極限
極限 31関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
三角関数の極限
Point：三角関数の極限
\(y=\sin x\) のグラフより、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x=0\)、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin x\) はない
■ \(\cos x\) の極限
\(y=\cos x\) のグラフより、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x=1\)、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\cos x\) はない
■ \(\tan x\) の極限
\(y=\tan x\) のグラフより、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\tan x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x=-\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x=\infty\)
これより \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x\) はない
■ \(\sin x\) の極限
\(y=\sin x\) のグラフより、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x=0\)、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin x\) はない
■ \(\cos x\) の極限
\(y=\cos x\) のグラフより、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x=1\)、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\cos x\) はない
■ \(\tan x\) の極限
\(y=\tan x\) のグラフより、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\tan x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x=-\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x=\infty\)
これより \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x\) はない
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詳しい解説｜三角関数の極限
極限 31関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(y=\sin x\) のグラフは、
\(x \to 0\) のとき、\(\sin x\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x=0\) となる
\(y=\cos x\) のグラフは、
\(x \to 0\) のとき、\(\cos x\) の値は \(1\) に限りなく近づくので、
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x=1\) となる
\(y=\tan x\) のグラフは、
\(x \to 0\) のとき、\(\tan x\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\tan x=0\) となる
また、\(y=\tan x\) のグラフより、
\(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+0\) のとき、\(\tan x\) の値は負でその絶対値が限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x=-\infty\)
また、\(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-0\) のとき、\(\tan x\) の値は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x=\infty\)
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x=-\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x=\infty\) となる
これより、\(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+0\) と \(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-0\) の極限が一致しないので、
極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x\) はない
\(x \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は正の値をとりながら \(0\) に限りなく近づくので、
\(x \to \infty\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \to +0\)
\(y=\sin x\) のグラフより、\(x \to +0\) のとき、\(\sin x\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
\(\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は \(0\) に限りなく近づく。
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0\) となる
\(x \to -\infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は負の値をとりながら \(0\) に限りなく近づくので、
\(x \to -\infty\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \to -0\)
\(y=\cos x\) のグラフより、\(x \to -0\) のとき、\(\cos x\) の値は \(1\) に限りなく近づくので、
\(\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は \(1\) に限りなく近づく。
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=1\) となる
