- 数学Ⅲ｜極限「三角関数の極限とはさみうちの原理」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の極限とはさみうちの原理
極限 32関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
三角関数の極限とはさみうちの原理
Point：三角関数の極限とはさみうちの原理
① 三角関数の絶対値のとりうる値の範囲を不等式で表す。
\(0{\small ~≦~}\left|\,\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}1~,~0{\small ~≦~}|\,\sin x\,|{\small ~≦~}1\)
② 各辺に \(|\,x\,|\) または \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\) をかけて、関数の絶対値を \(2\) つの関数ではさむ。
③ 右辺の関数の極限を求め、左辺の \(0\) と一致することを確かめる。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}|\,x\,|=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}=0\)
④ はさみうちの原理より絶対値の極限が \(0\) となるので、もとの関数の極限も \(0\) となる。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}=0\)
値が一定に近づかない三角関数を含む関数の極限は、
① 三角関数の絶対値のとりうる値の範囲を不等式で表す。
\(0{\small ~≦~}\left|\,\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}1~,~0{\small ~≦~}|\,\sin x\,|{\small ~≦~}1\)
② 各辺に \(|\,x\,|\) または \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\) をかけて、関数の絶対値を \(2\) つの関数ではさむ。
\(0{\small ~≦~}\left|\,x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}|\,x\,|~,~0{\small ~≦~}\left|\,\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\)
③ 右辺の関数の極限を求め、左辺の \(0\) と一致することを確かめる。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}|\,x\,|=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}=0\)
④ はさみうちの原理より絶対値の極限が \(0\) となるので、もとの関数の極限も \(0\) となる。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}=0\)
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詳しい解説｜三角関数の極限とはさみうちの原理
極限 32関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
※ \(x \to 0\) のとき、\(\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は一定の値に近づかないので、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) は直接は求められない。
余弦の値は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、\(x\neq 0\) のすべての実数 \(x\) について、
\(0{\small ~≦~}\left|\,\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}1\)
が成り立つ
次に、\(x\neq 0\) のとき \(|\,x\,|\gt 0\) で、各辺に \(|\,x\,|\) をかけても不等号の向きは変わらないので、
\(0{\small ~≦~}|\,x\,|\left|\,\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}|\,x\,|\)
ここで、\(|\,x\,|\left|\,\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|=\left|\,x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|\) より、
\(0{\small ~≦~}\left|\,x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}|\,x\,|\)
となり、\(\left|\,x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|\) を \(2\) つの関数 \(0~,~|\,x\,|\) ではさむことができる
また、はさんだ \(2\) つの関数の極限は、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}0=0~,~\displaystyle \lim_{x \to 0}|\,x\,|=0\)
\(2\) つの極限が一致するので、はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left|\,x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|=0\)
絶対値が \(0\) に近づくとき、もとの値も \(0\) に近づく
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0\) となる
※ \(x \to \infty\) のとき、\(\sin x\) の値は一定の値に近づかないので、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\) は直接は求められない。
正弦の値は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、すべての実数 \(x\) について、
\(0{\small ~≦~}|\,\sin x\,|{\small ~≦~}1\)
が成り立つ
次に、\(x \to \infty\) を考えるので \(x\neq 0\) としてよく、\(|\,x\,|\gt 0\) より各辺に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\) をかけても不等号の向きは変わらないので、
\(0{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,|\,\sin x\,|\,}{\,|\,x\,|\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,|\,\sin x\,|\,}{\,|\,x\,|\,}=\left|\,\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\,\right|\) より、
\(0{\small ~≦~}\left|\,\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\,\right|{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\)
となり、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\,\right|\) を \(2\) つの関数 \(0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}\) ではさむことができる
また、はさんだ \(2\) つの関数の極限は、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}0=0~,~\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\,x\,|\,}=0\)
\(2\) つの極限が一致するので、はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left|\,\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\,\right|=0\)
絶対値が \(0\) に近づくとき、もとの値も \(0\) に近づく
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}=0\) となる
