sinx/xの公式を使った三角関数の極限

\(\sin 2x\) の角 \(2x\) と分母を揃えるために、分母と分子に \(2\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 2x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 2x\,}{\,x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 2x\,}{\,2x\,}{\, \small \times \,}2\end{eqnarray}\)

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\(x \to 0\) のとき \(2x \to 0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 2x\,}{\,2x\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&1{\, \small \times \,}2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 2x\,}{\,x\,}=2\) となる
 
 
\(\sin 5x\) と \(\sin 3x\) の角とそれぞれの分母を揃えるために、\(\displaystyle \frac{\,5x\,}{\,5x\,}\) と \(\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,3x\,}\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,\sin 3x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,\sin 3x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5x\,}{\,5x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,3x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,5x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,\sin 3x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5x\,}{\,3x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,5x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,\sin 3x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,\sin 3x\,}\) を逆数として考えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,5x\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin 3x\,}{\,3x\,}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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\(x \to 0\) のとき \(5x \to 0~,~3x \to 0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,5x\,}=1~,~\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 3x\,}{\,3x\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&1{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,\sin 3x\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\) となる
 
 
相互関係の公式 \(\tan x=\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,\cos x\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\tan x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\cos x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos x\,}\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}=1~,~\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&1 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\tan x\,}{\,x\,}=1\) となる
 
 
分母に \(1-\cos x\) があるので、分母と分子に \(1+\cos x\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\sin x\,}{\,1-\cos x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\sin x(1+\cos x)\,}{\,(1-\cos x)(1+\cos x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\sin x(1+\cos x)\,}{\,1-\cos^2 x\,}\end{eqnarray}\)

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相互関係の公式 \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) より、\(1-\cos^2 x=\sin^2 x\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\sin x(1+\cos x)\,}{\,\sin^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x(1+\cos x)\,}{\,\sin x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sin x\,} \cdot (1+\cos x)\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sin x\,}\) を逆数として考えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\,} \cdot (1+\cos x)\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}=1~,~\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,} \cdot (1+1)
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\sin x\,}{\,1-\cos x\,}=2\) となる