- 数学Ⅲ｜極限「置き換えを行う三角関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜置き換えを行う三角関数の極限
極限 34極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,2x-\pi\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
置き換えを行う三角関数の極限
Point：置き換えを行う三角関数の極限
① 極限が \(t \to 0\) となるように \(x\) を \(t\) の式で置き換える。
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) とおくと、\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\)
\(t=x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) とおくと、\(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき \(t \to 0\)
② \(t\) の三角関数として極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,t\,}=1\)
そのままでは公式 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}=1\) が使えない三角関数の極限は、
① 極限が \(t \to 0\) となるように \(x\) を \(t\) の式で置き換える。
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) とおくと、\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\)
\(t=x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) とおくと、\(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき \(t \to 0\)
② \(t\) の三角関数として極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,t\,}=1\)
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詳しい解説｜置き換えを行う三角関数の極限
極限 34極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,2x-\pi\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
極限が \(t \to 0\) となるように、\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) とおくと、
\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) となり、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\sin t
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,t\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,t\,}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=1\) となる
極限が \(t \to 0\) となるように、\(t=x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) とおくと、
\(x \to \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき \(t \to 0\) となり、\(x=t+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,2x-\pi\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos\left(t+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\,}{\,2\left(t+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)-\pi\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos\left(t+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\,}{\,2t+\pi-\pi\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos\left(t+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\,}{\,2t\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\cos\left(t+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=-\sin t\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,-\sin t\,}{\,2t\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to 0}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,t\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \lim_{t \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,t\,}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,2x-\pi\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
