- 数学Ⅲ｜極限「図形の性質と三角関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜図形の性質と三角関数の極限
極限 35点 \({\rm O}\) における中心角が \(2\theta\) で、弧 \({\rm AB}\) をもつような半径 \(r\) のおうぎ形において、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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図形の性質と三角関数の極限
解法のPoint
図形の性質と三角関数の極限
Point：図形の性質と三角関数の極限図形の長さを含む三角関数の極限は、
① 図形の性質を利用して、長さを \(\theta\) の式で表す。
半径 \(r\) 、中心角 \(\theta\) のおうぎ形について、
弧の長さは、\(l=r\theta\)
また、弦の長さは二等辺三角形の頂点から
底辺に下ろした垂線から求める。
② 公式を利用して極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}=1\)
① 図形の性質を利用して、長さを \(\theta\) の式で表す。
半径 \(r\) 、中心角 \(\theta\) のおうぎ形について、
弧の長さは、\(l=r\theta\)
また、弦の長さは二等辺三角形の頂点から
底辺に下ろした垂線から求める。
② 公式を利用して極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}=1\)
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詳しい解説｜図形の性質と三角関数の極限
極限 35点 \({\rm O}\) における中心角が \(2\theta\) で、弧 \({\rm AB}\) をもつような半径 \(r\) のおうぎ形において、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
半径 \(r\) 、中心角 \(2\theta\) のおうぎ形の弧の長さは、
\(\begin{eqnarray}~~~\overset{\frown}{{\rm AB}}&=&r \cdot 2\theta
\\[3pt]~~~&=&2r\theta\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm O}\) から弦 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm OM}\) を下ろすと、\(\triangle {\rm OAB}\) は \({\rm OA}={\rm OB}=r\) の二等辺三角形なので、\({\rm M}\) は弦 \({\rm AB}\) の中点で、\(\angle {\rm AOM}=\theta\) となるので、
直角三角形 \({\rm OAM}\) において、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}&=&{\rm OA}\sin\theta
\\[3pt]~~~&=&r\sin\theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&2{\rm AM}
\\[3pt]~~~&=&2r\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=2r\theta~,~{\rm AB}=2r\sin\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,2r\theta\,}{\,2r\sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,\sin\theta\,}\) を逆数として考えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}=1\) となる
